Решить тригонометрическое неравенство значит найти множество значений переменной, при которых неравенство выполняется..

Решение тригонометрических неравенств

- означает, что график функции проходит выше прямой

у = а на определенном множестве

. у

у=а f(x)>a, xÎ(x₁;x₂)

F(x)

х₁ 0 х₂ y n

.

sin x > a – решением данного неравенства является B A y=a

множество углов, синусы которых превышают значение а. P_{p-arcsin a} P_{arcsin a}

Это множество углов опирается на дугу АnВ (А= P_{arcsin a}, o x

В = P_{p-arcsin a})

Строгое (нестрогое) неравенство не включает (включает)

в решение границы рассматриваемого промежутка из области

определения аргумента.

xÎ(-2/3;¥)– решением неравенства явл. интервал, т.е.множество решений

xÎ(-¥;-2/3].

О: Неравенство называется тригонометрическим, если оно содержит переменную только под знаком тригонометрической функции

Решить тригонометрическое неравенство значит найти множество значений переменной, при которых неравенство выполняется..

Решение тригонометрических неравенств сводится к решению простейших неравенств типа:

sin x < a, sin x > a, cos x < a, cos x > a, tg x < a, tg x > a, ctg x < a, ctg x > a

sin x £ a, sin x ³ a, cos x £ a, cos x ³ a, tg x £ a, tg x ³ a, ctg x £ a, ctg x ³ a.

Алгоритм решения тригонометрического неравенства:

1) строим тригонометрический круг;

2) находим концы дуги, на которую будет опираться множество искомых улов (решений) через соответствующую arc функцию числа а;

3) записываем решение неравенства в общем виде: , где α, β – концы дуги, Tn – периоды соответствующих функций.

Пример: - решением данного неравенства является множество углов больших , но меньших у =1/2

о х

Это множество углов определяет дугу окружности, лежащую выше прямой

Вывод решения неравенства , | а | £ 1, a > 1 – решений нет,

если а < - 1, то решением является множество R

 

Воспользуемся алгоритмом:

у

1) n

А у = а В

p-a a

о х

-(p+a)

 

m

2) ищем концы дуги, на которую опирается множество всех углов, синусы которых больше значения а т.е. из sin x = a, x₁ = arcsin a=α и х₂ =p - α

Этому множеству углов соответствует дуга AnB, расположенная выше прямой у = а, концы её не входят в решение, т.к. неравенство строгое!

	,

3) где (верхняя дуга)

 

Неравенству аналогично соответствует нижняя дуга AmB: (нижняя дуга)

 

 

Пример1:

1) у у=1/2 2) концы дуги: ,

0 х 3) , - общее решение

 

Ответ:[ ],

 

у

Пример 2: -5p/4 у= p/4

о х

(вычитаем из всех частей неравенства вел. )

 

(делим все части неравенства на 2)

Ответ:[ ],

Рассмотрим , , | , a > 1 – решений нет,

если - решение вся R

- решением является множество углов, косинусы которых больше значения а, т.е. дуга (концы не входят, т.к. неравенство строгое), лежащая правее прямой х = а

у х = а Проводим рассуждения как и в предыдущем случае, имеем:

Р_{arccos a}

 

о х

(дуга справа)

(дуга слева)

P_{-arccos a}

Пример 4: х = - у

5p/6

 

о х

 

 

-5p/6

 

Ответ: (),

y

Рассмотрим y = a

Построим графики и найдем точки пересечения

данных графиков -p/2 о p/2

a =arctg a

,

 

Учитывая область определения функции у=tg x, для строгих и нестрогих неравенств получим следующие общие формулы решений:

1) 2)

3) 4) -

Пример 4: ,

, , , , ,

Аналогично решаются неравенства, содержащие функцию ctg x, т.е. ,

, у

Находим концы дуги через y = a

(выше прямой у = а) о p/2 p х

(ниже прямой у = а) a=arcctg a

 

Учитывая область определения функции у = ctg x, для нестрогих неравенств получим следующие общие формулы решений:

,

Пример 5: ; ;

Пример 6: ; ; ; ; ; ;

Ответ: ,

 

Выводы:

1)		a-значение соответствующего аркуса
2)
3) ,
4)
5)	-	5)	-
6)		6)
7)		7)
8)		8)