Серьёзное внимание должно быть уделено каждому этапу, но особого внимания заслуживает постановка задачи, которая заключается в ясно сформулированных требованиях (условиях) к данным, которые подлежат обработке. Недаром говорят, что правильно поставленная задача – это половина её решения. Если задача сформулирована не вами, то её надо понять настолько ясно, чтобы можно было считать, что поставить её могли бы и вы. При этом важно понять связь данных и условия.
Важно не только понять задачу, важно и хотеть её решить. Прежде всего, должна быть понятна словесная формулировка задачи: что неизвестно? Что дано? В чём состоит условие? Нужно внимательно, многократно и с разных сторон рассмотреть главные элементы задачи.
Если с задачей связана какая-либо геометрическая фигура, необходимо сделать чертёж и указать на нём неизвестное и данные. Если необходимо как-нибудь назвать эти объекты, нужно ввести подходящие обозначения; уделяя определённое внимание подходящему выбору символов, решающий задачу вынужден сосредоточить свои мысли на объектах, для которых следует подыскать символы.
На этой предварительной стадии полезным может оказаться вопрос: возможно ли удовлетворить условию? Притом, что мы удовлетворимся лишь временным ответом, догадкой.
Составление плана решения
При построении плана можно использовать многократно апробированный в проектировании (а построение – это разновидность проектирования) метод «сверху–вниз», когда идея на каждом этапе всё более детализируется. Этот же метод применяется и в технологии программирования.
Можно считать, что есть план, если известно, хотя бы в общих чертах, какие вычисления или построения придётся проделать, чтобы получить неизвестное. Путь от понимания постановки задачи до представления себе плана решения может быть долгим и извилистым. Главный шаг на пути к решению задачи состоит в том, чтобы выработать идею плана. Эта идея может появляться постепенно. Или она может возникнуть вдруг, в один миг, после, казалось бы, безуспешных попыток и продолжительных сомнений (блестящая идея).
Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания. Уместно начать работу с вопроса: известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Трудность здесь в том, что обычно оказывается слишком много задач, имеющих с данной какие-либо общие черты. Нужно выбрать те задачи, которые имеют существенную черту, и таковой является неизвестное: вспомните знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным. Если повезёт и удастся вспомнить уже решённую такую задачу, то теперь надо извлечь из неё всё, что можно: вот задача, сходная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею?
Если подобные вопросы не помогают, необходимо начать поиски новых подходящих точек соприкосновения, исследовать всевозможные аспекты этой задачи; нужно видоизменить, преобразовать, модифицировать задачу. Нельзя ли сформулировать задачу иначе? Существуют следующие специфические средства видоизменить задачу: обобщение, специализация, использование аналогии, отбрасывание части условий и т. д. Видоизменения задачи могут привести к некоторой подходящей вспомогательной задаче: если не удаётся решить данную задачу, попытайтесь предварительно решить сходную. Чтобы не потерять первоначальную задачу в поисках и экспериментировании со вспомогательными задачами, необходимо пользоваться время от времени превосходным вопросом: Все ли данные вы использовали? Всё ли условие?
Осуществление плана
Чтобы придумать план, найти идею решения, требуется очень многое: ранее приобретенные знания, мозг, приученный к логическому мышлению, полная сосредоточенность, а также удача. Реализовать же план достаточно просто: здесь требуется главным образом терпение.
План указывает лишь общие контуры решения; теперь нужно убедиться, что все детали вписываются в эти общие контуры. Поэтому следует терпеливо рассмотреть эти детали, одну за другой, пока всё не станет совершенно ясным и не останется ни одного тёмного угла, в котором может скрываться ошибка.
При реализации плана важна доказательность каждого шага, и принимать следует лишь то, «что усматривается с полной ясностью или выводится с полной достоверностью» (Р. Декарт – см. приложение В).
При реализации плана необходимо проверять каждый свой шаг. Убедиться в правильности некоторого шага в рассуждениях можно либо интуитивно, либо логически. Можно сосредоточить внимание на рассматриваемом утверждении до тех пор, пока оно не станет столь явным и отчётливым, что не останется никакого сомнения в правильности выбранного шага. Но можно поступить и иначе, выводя утверждение по логическим правилам. Самое важное, чтобы была твердая убеждённость в правильности каждого шага. Однако надо понимать разницу между «увидеть» и «доказать »: ясно ли вам, что предпринятый шаг правилен? А в состоянии ли вы доказать, что он правилен?
Взгляд назад
Никакую задачу нельзя исчерпать до конца: если её решение действительно нельзя усовершенствовать, то, во всяком случае, всегда можно глубже осмыслить её решение.
Проверка каждого шага (хода) решения ещё не гарантирует отсутствие ошибок; важна проверка и результата решения. Особенно важно не проглядеть какой-либо быстрый интуитивный способ (если он имеется) проверки результата или хода решения. Полезен вопрос: нельзя ли получить тот же результат иначе? Конечно, короткое интуитивное рассуждение устроит в большей мере, чем длинное и тяжеловесное: нельзя ли усмотреть его с первого взгляда? Когда оглядываемся назад на решение задачи, представляется естественная возможность исследовать связь данной задачи с другими задачами.
Применительно к построению алгоритма С. Гудман и С. Хидетниеми [2] сформулировали аналогичные подход и вопросы, которые воспроизведены ниже.