Последовательное соединение элементов
 |
Пусть n элементов активного сопротивления соединены последовательно (рисунок 7).
Рис.7.
В соответствии с выбранным направлением обхода по второму закону Кирхгофа получим уравнение:
.
характерной особенностью последовательного соединения является равенство токов в каждом из элементов, входящих в соединение.
При 
запишем:
, то есть 
.
Таким образом, при последовательном соединении нескольких резисторов эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений, входящих в соединение.
При последовательном соединении катушек индуктивности (рисунок 8) можно записать:
.
 |
Рис.8.
Если 
, то 
,
следовательно 
.
Это означает, что эквивалентная индуктивность равна сумме индуктивностей, входящих в последовательное соединение.
В случае последовательного соединения конденсаторов (рисунок 9) по второму закону Кирхгофа можно записать:
.
 |
Рис.9.
Заменяя 
получим: 
.
Обратная ёмкость всех конденсаторов, соединенных последовательно, равна сумме обратных ёмкостей конденсаторов, входящих в соединение:
.
При этом эквивалентная ёмкость соединения будет меньше наименьшей ёмкости конденсатора, входящего в последовательное соединение.
Расчет сложных цепей с помощью уравнений Кирхгофа
Пример 1
Далеко не во всех случаях цепь представляет собой совокупность лишь последовательно и параллельно соединенных ветвей. В качестве примера рассмотрим вариант расчета с помощью уравнений Кирхгофа электрической цепи (рисунок 10). Цепь содержит 
= 4 узлов и 
= 6 ветвей, включая источники напряжения.
Рис.10.
Для определения всех токов и напряжений в схеме достаточно найти значения токов во всех ветвях цепи. Зная ток, проходящий через любую из ветвей цепи, можно найти как напряжение этой ветви, так и напряжение между любой парой узлов цепи.
Если мы зададимся произвольно положительными направлениями токов в ветвях цепи и пронумеруем произвольно эти токи, то по первому закону Кирхгофа можно составить 
уравнений относительно токов в ветвях цепи.
По второму закону Кирхгофа будет 
линейно-независимых уравнений для напряжений 
ветвей схемы.
Совокупность из уравнений по первому закону Кирхгофа, и 
уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, образует систему 
линейно – независимых уравнений. Эта система будет неоднородной системой уравнений, так как ее свободными членами являются заданные напряжения источников.
Подобная система уравнений имеет единственное решение, позволяющее найти токи в ветвях цепи, а по ним и значения напряжений между любой парой узлов цепи.
Для примера составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа (рисунок 10).
Число уравнений: 
.
Узел 1: 
,
узел 2: 
,
узел 3: 
.
В тоже время по второму закону Кирхгофа для контуров I, II, III можно составить систему из 
уравнений.
.
Контур I: 
,
контур II: 
,
контур III: 
.
Таким образом, решая систему из 6 уравнений с шестью неизвестными токами, например по методу Крамера, определим неизвестные. Если в цепи будет источник тока, то в системе уравнений неизвестным будет напряжение на зажимах этого источника, а ток через источник будет равен току задающего источника. Общее число неизвестных сохранится прежним.
Пример 2
Для цепи (рисунок 11) определить токи 
и 
, если E = 20 В, I 0 = 2 A, R 1 = 15 Ом, R 2= 85 Ом.
 |
Рис.11.
Решение
Выберем направления токов 
, 
и обхода в контуре, составим уравнения по законам Кирхгофа. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа:
.
Число уравнений по второму закону Кирхгофа:
.
Уравнение токов для узла 1:
. (a)
Уравнение по второму закону Кирхгофа:
. (б)
Подставим в уравнения (а) и (б) числовые значения получим:
,
.
Решив эту систему, определим токи и :
; 
.
Густав Роберт КИРХГОФ
Gustav Robert Kirchhof, 1824–77
Немецкий физик. Родился в Кёнигсберге (современный Калининград). Законы расчета электрический цепей сформулировал, еще будучи студентом Кёнигсбергского университета. Продолжил свою блестящую карьеру в ряде германских университетов, последним из которых стал Берлинский, где он был профессором теоретической физики с 1875 года и до своей смерти. В период работы в университете г. Бреслау (на территории современной Польши) совместно с Робертом Бунзеном разработал основы спектроскопии. Кроме того, он открыл еще один цикл законов Кирхгофа, описывающих тепловое поглощение и излучение. Хотя вторую половину своей жизни Кирхгоф в результате несчастного случая провел в инвалидной коляске, все современники отзывались о нем как о 
приятнейшем человеке и убежденном оптимисте.