Как было показано в [3], в упрощенной модели одностеночной трубки, представляющей собой линейную цепочку атомов, сила протекающего через нее тока определяется выражением:
, (2.1)
где U - напряжение, приложенное к концам трубки, L – ее длина, τ – время релаксации электронов, n – их концентрация. После простых преобразований получим:
(2.2)
Так как мы рассматриваем идеальную систему, то рассеяние электронов при движении может происходить только на контактах. Тогда время релаксации электронов можно определить так:
(2.3)
Тогда формула приобретет простой вид:
(2.4)
Видно, что электрическое сопротивление одностеночной нанотрубки обладает уникальным свойством – оно не зависит от геометрических размеров и определяется величиной 
- квантом сопротивления (формула Ландауэра [4], [5]). Такое сопротивление называется баллистическим.
Рассмотрим теперь проводимость двустеночной нанотрубки.
В предыдущей главе было показано, что гамильтониан системы из двух линейных регулярных цепочек атомов с учетом их взаимодействия имеет вид:
(2.5)
Собственными волновыми функциями такого гамильтониана будут функции:
, 
(2.6)
Волновую функцию электрона, влетающего в первую цепочку, представим в виде линейной комбинации этих волновых функций:
(2.7)
Рассмотрим теперь эволюцию этой волновой функции во времени. По правилам квантовой механики, получим:
, (2.8)
где под Δ для удобства обозначено |Γ kp |.
Учитывая ортогональность функций Ψ1 и Ψ2, которые для электронов имеют вид блоховских функций, следуя [6], получим для средней скорости первого электрона на уровне Ферми:
(2.9)
или, с учетом того, что 
(2.10)
То есть, скорость электрона на уровне Ферми является суперпозицией двух слагаемых, в которых присутствуют скорости на уровне Ферми для первой изолированной цепочки и для второй. Аналогично, для второй цепочки:
(2.11)
Рассмотрим два граничных случая, когда 
и 
.
В первом случае усреднением заменяем 
и 
на 1/2:
(2.12)
Во втором случае 
, 
:
(2.13)
(2.14)
Сразу видно, что во втором случае в выражении для времени релаксации электронов не будет никаких изменений, не изменится вид формулы (2.2), а значит, и формула Ландауэра не изменится.
Рассмотрим подробнее первый случай. Проводимость системы из двух параллельных одностеночных трубок определяется выражением:
(2.15)
Проводимость двустеночной трубки:
(2.16)
Видно, что и в этом случае формула Ландауэра остается справедливой.
Выводы
Целью данной работы было исследование электронного спектра и проводимости в двустеночных нанотрубках. С помощью упрощенной модели, представляющей собой две параллельные регулярные цепочки атомов, было показано, что в таких нанотрубках происходит перекрытие зон, что приводит к изменению положения уровня Ферми, а также его расщеплению. Величина этого расщепления была определена численно в программе, листинг которой приведен в приложении. При реалистичных значениях параметров расщепление оказалось достаточно малым, порядка 10-5 эВ. При этом изменяется и скорость электронов на уровне Ферми. Очевидно, что в такой идеальной системе рассеивание электронов должно происходить на контактах, поэтому время релаксации будет зависеть только от средней скорости движения электронов. Было проанализировано выражение для средней скорости движения электронов и показано, что в предельных случаях высоких и низких частот в двустеночных системах формула Ландауэра остается справедливой.