Сущность факторного эксперимента первого порядка состоит в одновременном варьировании всех факторов при его проведении по определенному плану, представлении математической модели (функции отклика) в виде линейного полинома и исследовании последнего методами математической статистики.
Под факторами (Х) понимаются независимые переменные (например, температура, концентрация, давление и т. д.), которыми управляет экспериментатор. Величина, получаемая в результате проведения эксперимента при определенном наборе факторов, называется выходной переменной или функцией отклика (Y) (например, скорость реакции, выход продукта и т. д.).
Значения факторов должны поддерживаться максимально точно и быть, по крайней мере, на порядок более точными, чем значения Y. Факторы должны иметь четкий физический смысл и быть однозначно связаны с выходной переменной.
При проведении эксперимента факторы представляются в натуральном масштабе (Х) – например, температура в градусах Цельсия или Кельвина, концентрация в моль/л, % и т.д. Для облегчения расчетов факторы нормируются (кодируются) – переводятся в безразмерные координаты. Это осуществляется следующим образом. Предположим, что эксперимент проведен при максимальной температуре Тmax = 380 K и минимальной Тmin = 300 K.
1) Определим среднее значение фактора Х0 = Т0:
Х0 = 
(1)
Х0 = Т0 = 
= 
= 340 К.
2) Определим интервал варьирования фактора ∆Х = ∆Т:
∆Х = 
(2)
∆Х = ∆Т = 
= 
= 40 К.
3) Определим значение фактора в нормированном виде:
х = 
(3)
Не трудно рассчитать, что нормированное значение максимальной температуры будет равно +1, а минимальной температуры равно -1.
Алгоритм расчета полного факторного эксперимента типа 2n
(при равном числе параллельных опытов в каждой точке факторного пространства)
Построение матрицы планирования. План, содержащий запись всех комбинаций факторов или их части в кодированной форме, называется матрицей планирования. Для построения матрицы планирования используют ряд приемов. Первый из них состоит в том, что элементарное сочетание первого фактора (+1,–1) повторяется для каждого следующего фактора на верхнем и нижнем уровнях (табл.1). Этот прием распространяется на построение матриц любой размерности. Столбец X0 – это столбец значений фиктивной переменной. Доказано, что его участие в матрице планирования делает расчеты коэффициентов математической модели более общими.
Иногда указанный прием построения матриц планирования трактуется как прием чередования знаков: в первом столбце знаки не меняются, во втором – меняются поочередно, в третьем – они чередуются через два, в четвертом – через 4 и т. д.(по показателям степеней двойки)
Таблица 1.Организация матриц планирования ПФЭ от 22 до 25
| №п/п | Тип эксперимента | Факторы | ||||||||
| х 0 | х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 | |||||
| 22 | 24 | 23 | 22 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | |
| +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | +1 | |||||
| +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | |||||
| +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | |||||
| +1 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | |||||
| +1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | |||||
| +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | |||||
| +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | |||||
| +1 | +1 | +1 | +1 | –1 | +1 | |||||
| +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | +1 | |||||
| +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | +1 | |||||
| +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | |||||
| +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | |||||
| +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | +1 | |||||
| +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | |||||
| +1 | –1 | –1 | –1 | –1 | +1 | |||||
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | –1 | |||||
| +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | |||||
| +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | |||||
| +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | –1 | |||||
| +1 | +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | |||||
| +1 | –1 | +1 | –1 | +1 | –1 | |||||
| +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | |||||
| +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | –1 | |||||
| +1 | +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | |||||
| +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | –1 | |||||
| +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | |||||
| +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | –1 | |||||
| +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | |||||
| +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | –1 | |||||
| +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | –1 | |||||
| +1 | –1 | –1 | –1 | –1 | –1 |
*) “+1” – значения факторов на верхнем уровне, “ –1” – значения факторов на нижнем уровне.
ЗАМЕЧАНИЕ: Выделены столбцы матрицы планирования используемые в индивидуальном задании.
Алгоритм расчета и анализа математической модели экспериментально-статистическими методами после экспериментальной реализации матрицы планирования осуществляется по следующей схеме.
Выбор математической модели ( уравнения регрессии).
В качестве математической модели выбираетcя отрезок ряда Тейлора вида:
Y=b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 +…bnxn + b12x1x2 + b13x1x3 + b12x1x2 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 +…. b1nx1xn + b123x1x2x3 + ….b12…..nx1x2….xn (4)
Где Y –выходная переменная
x i – кодированное значение фактора (+1 или –1)
n – количество факторов.
ЗАМЕЧАНИЕ: для решения индивидуального задания следует ограничиться определением четырех коэффициентов (выделены жирным шрифтом)
Расчет коэффициентов уравнения регрессии.
Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по формулам.
(i =1, 2, 3….. n)
где N – число строк в матрице планирования
n – число факторов,
m – число параллельных опытов в строке матрицы планирования,
– среднее значение выходной переменной по параллельным опытам u -й строки матрицы планирования.
ПОЯСНЕНИЕ. Для расчета коэффициента b0 значения xiu,будут равны +1, для расчета коэффициента b1 значения xiu,будут равны +1, –1, +1, –1 и.т.д, Для расчета коэффициента b2 значения xiu,будут равны +1, +1, –1, –1, +1, +1 и.т.д.
Расчет ошибки опыта (дисперсии воспроизводимости).
Ошибка опыта 
рассчитывается по параллельным опытам. Перед расчетом ошибки опыта необходимо убедиться, что рассеивание опытов в каждой точке факторного пространства не превышает некоторой величины. С этой целью необходимо рассчитать построчные дисперсии 
и проверить их однородность. Расчет проводится по формуле:
.
Где yuk – параллельные значения выходной переменной в u -й строке матрицы планирования.
Проверить однородность дисперсий можно по критерию Кохрена. Его расчетное значение определяется как:
,
где 
– максимальная из рассчитанных построчных дисперсий;
– сумма всех дисперсий по N строкам матрицы планирования.
Если выполняется условие Gp<GT, то гипотеза об однородности дисперсий принимается. GT находят по таблицам для числа степеней свободы f 1= m -1 и f 2= N и уровня значимости q. В технических расчетах принимается 5% уровень значимости q =0.05, что соответствует 95% доверительной вероятности.
Если дисперсии однородны, то ошибку опыта можно рассчитать по соотношению
Проверка значимости коэффициентов регрессии.
Очевидно, что один фактор больше влияет на выходную переменную, другой – меньше. Для оценки этого влияния используют проверку значимости каждого коэффициента:
где 
коэффициента уравнения регрессии;
рассчетное значение критерия Стьюдента.
Если 
то соответствующий коэффициент значим, и оставляется в уравнении регрессии. Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии без пересчета последнего. Теоретические значения критерия Стьюдента отыскиваются в таблице для условия f o= N (m -1) и q =0.05.
Проверка адекватности уравнения регрессии.
На данном этапе проверяется гипотеза о том, насколько соответствует математическая модель (уравнение регрессии) экспериментальным данным. Проверка осуществляется путем сравнения рассчетного (F p) и теоретического (F Т) значения критерия Фишера:
Дисперсия адекватности рассчитывается по соотношению:
,
где l – число связей, равное числу коэффициентов регрессии, оставшихся после проверки их значимости,
значение выходной переменной, рассчитанное по уравнению регрессии.
Если выполняется условие F p< F т, то уравнение адекватно. Значение F т находится по таблицам с использование условий: f ад= N-l, fo=N (m- 1) и q =0.05.
На последнем этапе расчета в уравнении регрессии кодированные значения факторов (х i) заменяются их значениями 
, выраженными через значения факторов в натуральном масштабе. При этом значения Х 0 и ∆ Х записываются в численном виде, а Х остается в виде переменной.
Например, в результате расчета найдены коэффициенты уравнения регрессии b0=10 и b1 = 22. Тогда
Y= 10 + 22 
= 10 + 22 
- 
.
Для примера с температурой:
Y= 10 + 22 
= 10 + 22 
- 
= -177 + 0.55Т.
Индивидуальная задача
Известно, что зависимость скорости химической реакции от концентраций реагирующих веществ (С) и температуры процесса (Т) описывается уравнением:
(5)
где k 0, 
, n, m –кинетические постоянные.
Для их определения был проведен полный факторный эксперимент типа 23, результаты которого приведены в таблице:
| №п/п | С1 | С2 | t, 0C | Результаты параллельных опытов | |
| W1 | W2 | ||||
| Y11 | Y21 | ||||
| 0.2 | Y12 | Y22 | |||
| Y13 | Y23 | ||||
| 0.2 | Y14 | Y24 | |||
| Y15 | Y25 | ||||
| 0.2 | Y16 | Y26 | |||
| Y17 | Y27 | ||||
| 0.2 | Y18 | Y28 |
По заданным значениям выходной переменной найти кинетические параметры процесса.
Замечание к решению.
1) Необходимо учесть, что полный факторный эксперимент позволяет найти коэффициенты полиноминального уравнения регрессии (4), в то время как заданное уравнение (5) представляет собой произведение, содержащее искомые параметры. Следовательно, уравнение (5) необходимо преобразовать в линейную форму (через натуральный логарифм).
2) Следует учесть, что температура в матрице планирования приведена в градусах Цельсия, а в уравнении (5) в градусах Кельвина.
3) Обратить внимание на то, что после линеаризации уравнения (5) может произойти изменение максимальных и минимальных значений факторов по сравнению с теми, которые даны в исходном задании.
ЛИТЕРАТУРА
1. А.Г.Бондарь. Планирование эксперимента в химической технологии / А.Г.Бондарь, Г.А.Статюха /, Киев, Выща школа, 1976, 184 с.
2. Кононюк А.Е. К15 Основы научных исследований (общая теория эксперимента) Монография. К.: 2011.- 456 с. https://ecat.diit.edu.ua:81/ft/BSR_3.pdf
Процентные точки распределения Стьюдента (q – уровень значимости, соответствует доверительной вероятности Р = 100% - q)
| q | 10% | 5% | 2% | 1% | 10% | 5% | 2% | 1% | ||||||
| 6,31 | 12,71 | 31,82 | 63,66 | 1,94 | 2,45 | 3,14 | 3,71 | |||||||
| 2,92 | 4,30 | 6,96 | 9,92 | 1,89 | 2,36 | 3,00 | 3,50 | |||||||
| 2,35 | 3,18 | 4,54 | 5,84 | 1,86 | 2,31 | 2,90 | 3,36 | |||||||
| 2,13 | 2,78 | 3,75 | 4,60 | 1,83 | 2,26 | 2,82 | 3,25 | |||||||
| 2,02 | 2,57 | 3,36 | 4,03 | 1,81 | 2,23 | 2,76 | 3,17 | |||||||
| 1,80 | 2,20 | 2,72 | 3,11 | 1,71 | 2,07 | 2,50 | 2,81 | |||||||
| 1,78 | 2,18 | 2,68 | 3,05 | 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,80 | |||||||
| 1,77 | 2,16 | 2,65 | 3,01 | 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,79 | |||||||
| 1,76 | 2,14 | 2,62 | 2,98 | 1,71 | 2,06 | 2,48 | 2,78 | |||||||
| 1,75 | 2,13 | 2,60 | 2,95 | 1,70 | 2,05 | 2,47 | 2,77 | |||||||
| 1,75 | 2,12 | 2,58 | 2,92 | 1,70 | 2,05 | 2,47 | 2,76 | |||||||
| 1,74 | 2,11 | 2,57 | 2,90 | 1,70 | 2,05 | 2,46 | 2,76 | |||||||
| 1,73 | 2,10 | 2,55 | 2,88 | 1,70 | 2,04 | 2,46 | 2,75 | |||||||
| 1.73 | 2,09 | 2,54 | 2,86 | 1,68 | 2,02 | 2,42 | 2,70 | |||||||
| 1,72 | 2,09 | 2,53 | 2,85 | 1,67 | 2,00 | 2,39 | 2,66 | |||||||
| 1,72 | 2,08 | 2,52 | 2,83 | 1,66 | 1,98 | 2,36 | 2,62 | |||||||
| 1,72 | 2,07 | 2,51 | 2,82 | оо | 1,64 | 1,96 | 2,33 | 2,58 | ||||||
| б | оо | |||||||||
| 161,40 | 199,50 | 215,70 | 224,60 | 230,2 | 234,00 | 238,90 | 243,90 | 249,00 | 254,30 | |
| 18,51 | 19,00 | 19,16 | 19,25 | 19,30 | 19,33 | 19,37 | 19,41 | 19,45 | 19,50 | |
| 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,84 | 8,74 | 8,64 | 8,53 | |
| 7,71; | 6,94" | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | 6,04 | 5,91 | 5,77 | 5,63 | |
| 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,82 | 4,68 | 4,53 | 4,36 | |
| 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 4,39 | 4,28 | 4,15 | 4,00 | 3,84 | 3,67 | |
| 5,59 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,87 | 3,73 | 3,57 | 3,41 | 3,23 | |
| 5,32 | 4,46 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,44 | 3,28 | 3,12 | 2,93 | |
| 5,12 | 4,25 | 3,86 | 3,63 | 3,48 | 3,37 | 3,23 | 3,07 | 2,90 | 2,71 | |
| 4,96 | 4,10 | 3,71 | 3,48 | 3,33 | 3,22 | 3,07 | 2,91 | 2,74 | 2,54 | |
| 4,84 | 3,98 | 3,59 | 3,36 | 3,20 | 3,09 | 2,95 | 2,79 | 2,61 | 2,40 | |
| 4,75 | 3,88 | 3,49 | 3,26 | 3,11 | 3,00 | 2,85 | 2,69 | 2,50 | 2,30 | |
| 4,67 | 3,80 | 3,41 | 3,18 | 3,02 | 2,92 | 2,77 | 2,60 | 2,42 | 2,21 | |
| 4,60 | 3,74 | 3,34 | 3,11 | 2,96 | 2,85 | 2,70 | 2,53 | 2,35 | 2,13 | |
| 4,64 | 3,68 | 3,29 | 3,06 | 2,90 | 2,79 | 2,64 | 2,48 | 2,29 | 2,07 | |
| 4,49 | 3,63 | 3,24 | 3,01 | 2,85 | 2,74 | 2,59 | 2,42 | 2,24 | 2,01 | |
| 4,45 | 3,59 | 3,20 | 2,96 | 2,81 | 2,70 | 2,55 | 2,38 | 2,19 | 1,96 | |
| 4,41 | 3,55 | 3,16 | 2,93 | 2,77 | 2,66 | 2,51 | 2,34 | 2,15 | 1,92 | |
| 4,38 | 3,52 | 3,13 | 2,90 | 2,74 | 2,63 | 2,48 | 2,31 | 2,11 | 1,88 | |
| 4,35 | 3,49 | 3,10 | 2,87 | 2,71 | 2,60 | 2.45 | 2,28 | 2,08 | 1,84 | |
| 4,32 | 3,47 | 3,07 | 2,84 | 2,68 | 2,57 | 2,42 | 2,25 | 2,05 | 1,81 | |
| 4,30 | 3,44 | 3,05 | 2,82 | 2,66 | 2,55 | 2,40 | 2,23 | 2,03 | 1,78 | |
| 4,28 | 3,42 | 3,03 | 2,80 | 2,64 | 2,53 | 2,38 | 2,20 | 2,00 | 1,76 | |
| 4,20 | 3,40 | 3,01 | 2,78 | 2,62 | 2,51 | 2,36 | 2,18 | 1,98 | 1,73 | |
| 4,24 | 3,38 | 2,99 | 2,76 | 2,60 | 2,49 | 2,34 | 2,16 | 1,96 | 1,71 | |
| 4,22 | 3,37 | 2,98. | 2,74 | 2,59 | 2,47 | 2,32 | 2,15 | 1,95 | 1,69 |
Критерий Фишера при q = 0,05
Критерий Кохрена при q=0,05