Программа экзамена по курсу
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Направление подготовки 01.03.01 «Математика»
Профиль «Преподавание математики и информатики»
Форма обучения очная, 2018-19 уч. год, курс 2, семестр 4
Лектор: проф. Е.М. Матвеев
Несобственные, криволинейные, кратные интегралы, теория поля. Несобственные интегралы: Определение и свойства. Необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции. Первый признак сравнения несобственных интегралов. Второй признак сравнения несобственных интегралов. Интегрирование по частям и замена переменных в несобственном интеграле. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы, связь между ними. Основные понятия теории меры. Множества меры нуль. Измеримость графика непрерывной функции, его нулевая площадь. Измеримость по Жордану, квадрируемые и кубируемые фигуры. Критерий измеримости. Двойной интеграл по прямоугольнику (по Риману). Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства. Достаточное условие интегрируемости функции двух переменных по прямоугольнику. Двойной интеграл по произвольной области. Необходимые и достаточные условия существования. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам. Вычисление площади поверхности, заданной графиком функции. Несобственные двойные интегралы. Интеграл вероятностей. Тройной интеграл по параллелепипеду. Тройной интеграл по произвольному множеству. Его основные свойства. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам. Спрямляемые кривые и их длина. Вычисление длины кривой при различных способах задания. Криволинейные интегралы первого рода: определение, свойства, вычисление и приложения. Криволинейные интегралы второго рода: определение, свойства, вычисление, физический смысл. Формула Грина. Вычисление площади с её помощью. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Восстановление функции двух переменных по её дифференциалу. Оператор Гамильтона, ротор и дивергенция векторного поля.
Числовые и функциональные ряды. Числовой ряд, его сумма, остаток ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов: умножение на константу и сумма сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда. Критерий сходимости числового ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда с неотрицательными членами. Первый признак сравнения числовых рядов. Второй признак сравнения числовых рядов. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Признак Даламбера. Алгебраический признак сходимости числовых рядов. Интегральный признак сходимости числовых рядов. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды и их свойства. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Асимптотическая формула Стирлинга. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов. Теорема о перемене порядка пределов для равномерно сходящихся функциональных последовательностей. Непрерывность предела равномерно сходящейся последовательности и суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Интегрирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Дифференцирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и область сходимости степенного ряда. Формулы для радиуса сходимости степенного ряда. Теоремы о дифференцировании и интегрировании степенных рядов. Ряд Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа. Разложение в ряд Тейлора основных функций (показательной, синуса, косинуса). Разложение в ряд Тейлора основных функций (логарифма, арктангенса, бинома).
Литература
1. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа (в двух томах). //М.: Высшая школа, 1981.
2. Быкова О.Н., Колягин С.Ю., Кукушкин Б.Н., Практикум по математическому анализу. Учебное пособие. //М.: Изд-во МПГУ, 2011.
3. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для вузов. //М.: ООО «Издательство Астрель», 2005.
4. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2, 3. //М.: Наука, 1970.
5. Матвеев Е.М., Конспекты лекций.
Утв. на заседании кафедры 06.05.2019 г. Протокол № 8.
Зав. кафедрой, д.ф.-м.н., профессор П.С. Геворкян