к экзамену по курсу «Алгебра»




Вопросы

1. Системы линейных уравнений: Совместные, несовместные, определенные, неопределенные системы, ступенчатые системы линейных уравнений.

2. Эквивалентные системы линейных уравнений. Эквивалентность системы линейных уравнений ступенчатой системе.

3. Перестановки из п элементов. Число перестановок. Инверсии, четность перестановки, транспозиции. Переход от одной перестановки к другой несколькими транспозициями.

4. Смена четности перестановки при транспозиции. Теорема о числе четных перестановок.

5. Подстановки. Число подстановок. Четность подстановки, Число четных подстановок.

6. Определители матриц 2-го и 3-го порядка. Правило Крамера.

7. Определитель матрицы n-го порядка. Свойства, связанные с транспонированием определителя и перестановками строк.

8. Свойство определителя, содержащего две пропорциональные строки, и разложение определителя в сумму определителей.

9. Свойства определителя, связанные с линейной комбинации строк.

10. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы. Выражение алгебраического дополнения.

11. Теорема о разложении определителя по строке. Следствие.

12. Cпособы вычисления определителей. Определитель Вандермонда.

13. Миноры k-го порядка и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа (без доказательства).

14. Правило Крамера. Следствия.

15. Пространство R n Линейная зависимость и независимость системы векторов. Теорема о линейно зависимых и независимых системах векторов.

16. Теорема о линейной зависимости системы векторов, все векторы которой являются линейными комбинациями векторов другой системы векторов.

17. Базис системы векторов. Теорема о независимости числа векторов базиса системы векторов от выбора базиса. Ранг системы векторов.

18. Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов. Критерий базиса. Теорема о дополнении линейно независимой подсистемы системы векторов до базиса системы векторов.

19. Линейно эквивалентные системы. Теорема о совпадении рангов эквивалентных систем векторов.

20. Ранг матрицы. Теорема о ранге.

21. Элементарные преобразования матриц, вычисление ранга матриц, при помощи элементарных преобразований.

22. Критерий совместности системы линейных уравнений.

23. Правило решения системы линейных уравнений.

24. Теорема о структуре множества решений системы линейных однородных уравнений.

25. Теорема о структуре множества решений системы линейных неоднородных уравнений.

26. Действия над матрицами (сложение, умножение на число, умножение), простейшие свойства.

27. Теорема об определителе произведения 2-х матриц.

28. Обратная матрица. Критерии существования обратной матрицы. Свойства обратной матрицы.

29. Элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

30. Бинарные операции на множествах. Примеры. Алгебраические структуры. Ассоциативные, коммутативные операции. Теорема о расстановке скобок в произведении элементов.

31. Полугруппа. Нейтральный элемент. Единственность нейтрального элемента. Моноид. Примеры алгебраических структур. Симметричный элемент. Единственность симметричного элемента. Степень элемента.

32. Группа. Критерий группы. Примеры.

33. Гомоморфизмы алгебраических структур. Виды гомоморфизмов. Примеры. Ядро и образ гомоморфизма.

34. Теорема о свойствах гомоморфизмов: суперпозиция гомоморфизмов, отображение обратное к изоморфизму, образ единичного и обратного элементов при гомоморфизме, критерий мономорфизма.

35. Подгруппа. Критерий подгруппы. Примеры подгрупп.

36. Пересечение подгрупп. Терема об образе и прообразе подгрупп при гомоморфизме.

37. Описание подгруппы группы Z.

38. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы.

39. Теорема Кэли. Циклическая группа. Классификационная теорема для конечных и бесконечных циклических групп.

40. Кольцо. Простейшие свойства колец. Виды колец. Примеры.

41. Делитель нуля, свойства делителя нуля. Теорема о возможности сокращения в кольце без делителей нуля. Кольцо целостности. Примеры.

42. Подкольцо. Критерий подкольца. Примеры. Гомоморфизмы колец, виды гомоморфизмов. Примеры. Характеристика поля.

43. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

44. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел. Сопряженные числа.

45. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра.

46. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

47. Многочлены от одной переменной. Функциональный и алгебраический подходы к понятию многочлена. Кольцо многочленов.

48. Корни многочленов. Схема Горнера. Теорема Безу.

49. Теорема о числе корней многочлена над кольцом целостности. Восстановление многочлена по его значениям.

50. Интерполяционная формула Лагранжа. Эквивалентность функционального и алгебраических подходов к понятию многочлена над бесконечной областью целостности. Кратные корни. Разложение многочленов.

51. Производная многочлена. Понижение кратности корня при дифференцировании. Формула Тейлора.

52. Многочлены над алгебраически замкнутыми полями. Формулы Виета.

53. Многочлены с действительными коэффициентами, теорема о корнях, разложение многочленов.

54. Рациональные корни многочленов, с рациональными коэффициентами.

55. Нахождение корней многочленов: Формула Кардано, теоремы Абеля и Галуа.

56. Многочлены от нескольких переменных. Кольцо многочленов. Делители многочленов. Разложение многочленов в произведение неприводимых множителей (без доказательства).

57. Лексикографическое расположение одночленов многочлена. Теорема о высшем члене произведении двух многочленов.

58. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2021-01-23 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: