Решать мы их не будем. Это сложно. Тем более что решения зависят от начальных и граничных условий (расположения в пространстве токов и зарядов, поверхностей). Поэтому решать уравнения Максвелла надо заново для каждой задачи (например, расчета конкретной антенны в заданном окружении). И занимаются этим, в основном моделирующие компьютерные программы.
Здесь мы рассмотрим только готовое решение для электромагнитной волны в свободном пространстве.
Из этого решения вытекает положение векторов электрического и магнитного поля относительно направления движения электромагнитной волны:
· В перпендикулярно направлению распространения.
· E также перпендикулярно направлению распространения.
· В и Е перпендикулярны между собой.
В нашем трехмерном мире это возможно, только если B, Е и направление движения волны расположены по трем координатным осям. На следующей анимации показана электромагнитная волна в свободном пространстве:
Являющееся решением системы уравнений Максвелла трехмерное волновое уравнение по E для свободного пространства выглядит так:
∂2 E /∂x2 + ∂2 E /∂y2 + ∂2 E /∂z2 - (1/c2)·∂2 E /∂t2 = 0
Это очень интересное уравнение.
Во-первых, в нём явно видна равнозначность между пространственными координатами и временем: x, y, z и t стоят в одном ряду и в одном и том же виде (множитель c2 перед временем говорит лишь о том, что у координат и времени разная размерность и этот множитель лишь приводит ее к одной: скорость умножить на время получаются метры). И эта идентичность расположения x, y, z и t говорит о том, что для электромагнитной волны наш мир четырехмерен, время является точно такой же полноправной координатой, как и x, y, z.
Во-вторых, в трехмерном волновом уравнении x, y, z и t стоят в квадрате. Что говорит от четырехмерной симметрии нашего мира (квадрат величины не зависит от ее знака: плюс или минус). Поэтому знаки координат x, y, z, и знак времени t можно менять на противоположные без изменения уравнения.
Решением этого трехмерного волнового уравнения является любая функция (волна), движущаяся в пространстве со скоростью c. Но из-за того, что в этом уравнении c встречается только в виде квадрата, изменение знака скорости c на противоположный ничего не меняет. Поэтому общим математическим решением волнового уравнения является сумма (наложение) двух волн со скоростью света одновременно бегущих в противоположные стороны.
И тут мы делаем следующий шаг: утверждаем (без математического доказательства, просто из опыта), что электромагнитные волны, создаваемые источником, всегда бегут только от него. Согласитесь, с точки зрения здравого смысла было бы очень странно, если бы еще до включения источника некая волна зародилась где-то очень далеко и успела бы прибыть к источнику именно в тот момент, когда мы надумали его включить. Решение уравнений Максвелла дает обеим волнам равные права. И мы сами на опыте устанавливаем добавочное (отсутствующее в уравнениях Максвелла) правило, что физический смысл имеет только одна из этих волн. Та, которая уходит от источника.
Из-за этого добавочного правила мы теряем симметрию по времени, которая есть в уравнениях Максвелла.
Кстати говоря, математиками внимательно исследовалась такая электродинамика, которая обходится без этого дополнительного правила и имеет две волны. Как ни странно, результаты таких исследований во многих случаях не являются физически абсурдными (а иногда они имеют явный физический смысл, например, прямая и обратная волна в длинных линиях). Но в физическую гипотезу такая электродинамика так и не превратилась, оставшись математическим экспериментом. Хотя возможность обратного движения по времени (т.е. его симметрии) так привлекательна, но… Так что мы пользуемся электродинамикой, в которой пространство симметрично, а время – нет (то есть волны всегда уходят от источника).
Заключение
Вот система уравнений Максвелла во всей красе:
| ∇·E = ρ/εo | Закон Гаусса для E |
| ∇×E = – ∂ B /∂t | Закон Фарадея |
| ∇·B = 0 | Закон Гаусса для В |
| ∇×B = j/εoc2 + (1/c2)·∂ E /∂t | Теорема о циркуляции В |
Она описывает абсолютно все электромагнитные явления.