Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Расчет цилиндрического
Объемного резонатора
Методические указания к курсовому проектированию по курсам
«Электродинамика и распространение радиоволн»,
«Электромагнитные поля и волны»
Иркутск- 2019 г.
Расчет цилиндрического объемного резонатора. Методические указания к курсовому проектированию по курсам «ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН», «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ». Составитель В.Н. Егоров.- Иркутск, 2019.- 21с.
Методические указания содержат основные сведения из теории цилиндрических объемных резонаторов - наиболее распространенных колебательных систем в диапазоне сверхвысоких частот. Рассматриваются исходные для расчета данные и последовательность расчета размеров резонатора по заданной резонансной частоте и типу колебания. Приводится пример расчета цилиндрического резонатора и поясняются основные способы его возбуждения.
Содержание
| Сведения из теории цилиндрических объемных резонаторов…. | |||
| 1.1 | Спектр резонансных частот……………………………………… | ||
| 1.2 | Добротность колебаний………………………………………….. | ||
| Порядок расчета резонаторов……………………………………. | |||
| 2.1 | Исходные данные для расчета…………………………………… | ||
| 2.2 | Выбор соотношения размеров резонатора по номограмме…… | ||
| 2.3 | Расчет размеров резонатора……………………………………… | ||
| 2.4 | Расчет собственной добротности резонатора…………………... | ||
| 2.5 | Выбор способа возбуждения…………………………………….. | ||
| Пример расчета резонатора……………………………………… | |||
| 3.1 | Исходные данные…………………………………………………. | ||
| 3.2 | Расчет резонатора………………………………………………… | ||
| Список литературы……………………………………………….. |
1. сведения из теории цилиндрических объемных резонаторов
1.1 Спектр резонансных частот
Цилиндрический объемный резонатор можно рассматривать как отрезок круглого волновода, закороченный на концах проводящими плоскостями. Поле колебания вдоль оси и по радиусу резонатора представляет стоячую волну. В азимутальном направлении, в зависимости от способа возбуждения колебания, поле может иметь характер стоячей волны или замкнутой на себя бегущей волны.
Колебания разделяются на два класса: 
- и 
- колебания. Обозначение колебаний по первым двум индексам 
совпадает с обозначением соответствующей волны круглого волновода: 
=0,1,2,3…-азимутальный индекс, показывающий число полуволн электромагнитного поля на половине окружности волновода, 
=1,2,3…-радиальный индекс, показывающий число полуволн на радиусе волновода. Индекс 
обозначает число полуволн на длине резонатора.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) резонатора в окрестности резонанса (рисунок 1) аналогична резонансной кривой обычного колебательного контура, но в отличие от него, объемный резонатор имеет бесконечное (но счетное) множество резонансных частот. Это множество называется спектром. Резонансные частоты 
(Гц) цилиндрического объемного резонатора рассчитываются по формуле:
(1)
где 
- скорость электромагнитной волны в вакууме (м/с);
-относительная диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, заполняющей резонатор (для воздуха 
);
- длина (высота) резонансной полости (м);
- диаметр резонансной полости (м);
- аксиальный (продольный) индекс колебания;
для - колебаний: 
, 
;
для - колебаний: 
, 
;
- 
-ые корни уравнений 
и 
, 
1;
- функция Бесселя 
- го порядка и ее производная.
Следует обратить внимание, что колебаний 
не существует. В таблице 1 приведен ряд значений для 
.
Таблица 1.- Значения корней
| 
| |||||
 , 
| 
| 
| 
|
|
|
|
| 2,405 | 5,520 | 8,654 | 3,832 | 7,016 | 10,173 |
| 3,832 | 7,016 | 10,173 | 1,841 | 5,331 | 8,536 |
| 5,136 | 8,417 | 11,620 | 3,054 | 6,706 | 9,969 |
Как видно из таблицы, значения корней 
совпадают с 
. Так, 
; 
; 
; и т.д. Это совпадение, как следует из (1), приводит к равенству резонансных частот 
- и 
- колебаний, имеющих различную структуру (картину силовых линий) электромагнитного поля. Совпадение резонансных частот колебаний с различной структурой электромагнитного поля называется вырождением колебаний. Кратностью вырождения называется число различных типов колебаний с одинаковой резонансной частотой. Для всех колебаний с индексом 
1 в цилиндрическом резонаторе существует еще поляризационное (двухкратное) вырождение. Таким образом, к вырождению колебаний 
и 
(двухкратному) добавляется еще поляризационное вырождение колебания и частота резонанса (и/или ) становится трехкратно вырожденной.
На практике, из-за отклонения формы резонатора от идеального цилиндра, част о ты вырожденных колебаний могут незначительно отличаться. В этом случае в резонаторе возможны явления, аналогичные явлениям в связанных колебательных контурах: расширение полосы пропускания и появление "провала" ("провалов") на резонансной кривой. Способы устранения этого эффекта основаны на различной структуре электромагнитного поля вырожденных колебаний. Это позволяет избирательно изменять частоту одного из колебаний, либо вводить избирательное поглощение энергии поля определенной структуры с помощью различных конструктивных элементов.
Кроме рассмотренных вариантов вырождения колебаний, возможно также совпадение резонансных частот различных типов колебаний из-за неудачного выбора отношения 
. Выбор размеров резонатора и анализ его спектра удобно проводить по номограмме, полученной из формулы (1). Для построения номограммы возведем в квадрат обе части (1) и представим в виде:
. (2)
Введем обозначения: 
, 
, 
, 
.
Тогда уравнение (2) даст семейство прямых
, (3)
представленных на рисунке 2. Точки пересечения прямых с различными 
дают значения 
, при которых част о ты двух колебаний совпадают. Обычно на практике требуется резонатор с единственным резонансом в некоторой полосе частот, т.е. вырождение колебаний нежелательно. Изменяя 
в большую или меньшую сторону от точки пересечения линии рабочего колебания с линиями других (мешающих или «паразитных») колебаний, можно получить в окрестности рабочего резонанса некоторую полосу частот без точек вырождения (паразитных резонансов).
1.2 Добротность резонатора
Добротность резонатора определяется соотношением
,
где 
- полная запасенная энергия электромагнитного поля в резонаторе (Дж);
- круговая частота колебания (рад/с);
- полная мощность всех потерь энергии в резонаторе (Вт).
Полная мощность потерь энергии в резонаторе складывается из мощности омических потерь в стенках 
, диэлектрических (магнитных) потерь в среде, заполняющей резонатор 
и излучения энергии через устройства связи в СВЧ - тракт 
. Для резонаторов с двумя и более устройствами связи 
, где 
- мощность излучения через 
-тое устройство связи. Различают собственную 
и нагруженную 
добротности резонатора
, 
.
В отличие от нагруженной добротности, собственная добротность учитывает не полную мощность потерь, а лишь мощность потерь внутри резонатора (собственных потерь) 
и не учитывает мощность потерь на связь. Экспериментально определяется нагруженная добротность , т.к. для измерения необходимо связать резонатор с трактом. Характеристикой степени включения резонатора в тракт через -тый элемент связи служит коэффициент связи 
, определяемый как
.
Собственная добротность определяется через нагруженную по формуле
,
где 
для резонатора с одним элементом связи и 
для резо-натора с двумя элементами связи.
Экспериментально определяется по относительной ширине полосы пропускания резонатора на уровне 0,5 его коэффициента передачи по мощности 
на резонансной частоте 
(что соответствует Кр= -(А0 +3,01), дБ для логарифмического ) (рисунок 1):
, (4)
где 
; 
- крайние точки полосы пропускания на уровне 0,5 от максимального значения коэффициента передачи резонатора по мощности. Расчетное значение собственной добротности резонатора без диэлектрических (магнитных) потерь определяется через запасенную в резонаторе энергию и мощность омических потерь в стенках резонатора
, (5)
где 
- относительная магнитная проницаемость стенок резонатора;
- относительная магнитная проницаемость среды в резонаторе;
- глубина скин-слоя в стенках резонатора (м);
- удельная электропроводность стенок резонатора (См/м);
– магнитная постоянная вакуума (Гн/м);
-комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля в резонаторе и ее комплексно-сопряженная величина (А/м);
–внутренний объем резонатора (м3);
– внутренняя поверхность резонатора (м2);
-собственная добротность резонатора без диэлектрических (магнитных) потерь энергии.
Для достижения максимальной добротности резонатора его необходимо изготавливать из металла с высокой электропроводностью или покрывать внутреннюю поверхность слоем такого металла толщиной не менее 
.
 |
.
Рисунок 1. Частотная зависимость коэффициента передачи резонатора
Для колебания 
собственная добротность выражается как:
, (6)
где 
- радиус резонатора (м);
- волновое число (м –1).
Значения 
приведены в таблице 1.
Для индекса 
добротность колебаний 
рассчитывается по формуле и по формуле
. (7)
Для индекса 
добротность колебаний 
рассчитывается по формуле
. (8)
Если резонатор заполнен средой с диэлектрическими (магнитными) потерями, то собственная добротность такого резонатора будет
, (9)
где 
-частичная добротность резонатора, обусловленная диэлектрическими (магнитными) потерями в среде, заполняющей резонатор;
-тангенс угла диэлектрических (магнитных) потерь среды.
2. Порядок расчета резонатора
2.1 Исходные данные для расчета
Исходными данными для расчета резонатора являются:
-рабочий тип колебания ( или ) с заданными индексами 
.
-резонансная частота рабочего колебания (Гц, МГц, ГГц).
-полосы частот 
выше и ниже резонансной частоты , в которых не должно существовать колебаний других типов (Гц, МГц, ГГц);
-металл, из которого должен быть сделан резонатор, или покрытие внутренней поверхности резонатора и минимальное допустимое значение 
,
-параметры 
среды, заполняющей резонатор.
2.2 Выбор соотношения размеров резонатора по номограмме
Заданная резонансная частота любого колебания (кроме 
) может быть получена при различных значениях диаметра резонатора 
и его высоты 
. У колебаний резонансная частота определяется только диаметром и не зависит от высоты . Высоту резонатора в этом случае также приходится выбирать, чтобы обеспечить необходимые полосы частот , свободные от других (зависящих от ) колебаний. Расчет резонатора начинается с определения 
, т.е. отношения его диаметра к высоте по номограмме типов колебаний (рисунок 2). Двигаясь по линии заданного (рабочего) типа колебания в сторону возрастания 
выбираем на линии этого колебания точку 
, в которой расстояние по вертикали 
до линии ближайшего колебания сверху и расстояние по вертикали до линии ближайшего колебания снизу 
удовлетворяют заданным полосам частот в исходных данных (подраздел 2.1)
, 
, (10)
где 
и 
. Если одно из неравенств (10) выполняется с запасом, а другое не выполняется, рабочую точку смещают по линии колебания в нужную сторону до выполнения обеих неравенств. Если не выполняются оба неравенства, рабочую точку смещают вправо по линии колебания в область, где значения , больше, и проверяют выполнение (10). Из найденной точки опускают вертикальную линию на ось OX. Значение 
в точке их пересечения используется для расчета 
.
Задача проектирования резонатора относится к задачам синтеза и может иметь неоднозначное решение или не иметь его вовсе, когда исходные для проектирования данные не удовлетворяют условиям физической реализуемости. В частности, на линии рабочего колебания может быть несколько точек, в которых обеспечиваются требуемые полосы частот . Критерием для выбора нужной точки из нескольких обычно служит наибольшая собственная добротность резонатора и/или приемлемые габариты резонатора. Для получения области 
с наибольшей добротностью ищется максимум функции 
из (6)-(8) по этому параметру. В наиболее распространенных в измерительной технике 
-резонаторах часто выбирается точка с параметром 
. Так как в выражение (5) для входит отношение объемного интеграла к поверхностному, то во многих случаях максимум достигается вблизи 
, когда цилиндр имеет максимальный объем при заданной поверхности.
Задача проектирования резонатора только путем выбора оптимального может не иметь решения, если заданы слишком большие полосы частот . В этом случае принимается одно из (или комбинация) следующих решений:
-выбирается другой тип колебания (заданный тип колебания не изменять!);
-принимаются конструктивные меры для подавления паразитных колебаний;
-выбирается способ селективного возбуждения рабочего колебания и соответствующая конструкция возбудителя.
Последние два решения применяются, в частности, при использовании 
-колебаний, которые вырождены с 
-колебаниями. Следует отметить, что задача создания резонатора СВЧ с единственным типом колебания в широкой полосе частот очень сложна технически и имеет принципиальные ограничения по частоте сверху.
2.3 Расчет размеров резонатора.
По значению , продольному индексу рабочего колебания 
, значению соответствующего корня функции Бесселя или ее производной 
, параметрам среды в резонаторе и заданной резонансной частоте находят диаметр резонатора 
. (11)
По полученному значению диаметра резонатора рассчитывают его длину
. (12)
Расчет размеров резонатора проводят с точностью до 0,01 мм.
По найденным 
, 
проверяют значение резонансной частоты по формуле (1). Оно должно отличаться от частоты в индивидуальном задании на курсовую работу не более, чем на 10 МГц. Проверяют отсутствие колебаний в полосе частот 
выше и 
ниже рабочей частоты . Для этого при найденных размерах резонатора 
по формуле (1) рассчитывают резонансные частоты 
ближайших (по номограмме) типов колебаний сверху и снизу и проверяют условия
, 
. (13)
Если одно из неравенств выполняется с запасом, а второе не выполняется, корректируют отношение размеров и пересчитывают их точные значения по формулам (11), (12).
Рисунок 2. Номограмма типов колебаний
- колебания E nmp;
- колебания Н nmp.
2.4 Расчет собственной добротности резонатора
По полученным размерам , типу колебания и материалу стенок резонатора с параметрами 
рассчитывают собственную добротность резонатора по соответствующей формуле из (6)-(8). Значения наиболее часто применяемых металлов для изготовления резонатора или покрытия внутренней поверхности приведены в таблице 2. Следует учитывать, что собственная добротность изготовленного резонатора будет ниже расчетной на 10-30 % из-за шероховатости внутренней поверхности резонатора, отклонения формы резонатора от идеального цилиндра и дополнительных потерь энергии в контактах между составными частями резонатора (цилиндрическим корпусом и крышками). Качество контактов особенно важно для колебаний 
- типа. Наивысшей добротностью в цилиндрическом резонаторе обладают симметричные - колебания, для которых торцевые крышки резонатора могут не иметь электрического контакта с цилиндрическим корпусом и быть подвижными. Это позволяет реализовать перестраиваемые по частоте -резонаторы.
Таблица 2.- Характеристики металлов
| Металл |  , См./м
| 
|
| Серебро | 6,14×107 | |
| Медь | 5,80×107 | |
| Алюминий | 3,54×107 | |
| Латунь | 1,45×107 |
2.5 Выбор способа возбуждения
Возбуждение колебаний в резонаторе осуществляется с помощью штыревых, петлевых или щелевых антенн (возбудителей), расположенных и ориентированных соответствующим образом. Штыревые и петлевые возбудители используются обычно при включении резонатора в коаксиальную линию, щелевые - при включении в волноводный тракт. Для выбора типа возбудителя, его расположения и ориентации необходимо учитывать структуру электромагнитного поля заданного рабочего типа колебания, т.е. картину силовых линий компонент поля и 
для заданного типа колебания.
Штыревой и петлевой возбудители являются соответственно электрической и магнитной антеннами и должны размещаться в областях максимальной напряженности электрического (штырь) или магнитного (петля) поля внутри резонатора. Ориентация возбудителей должна быть такой, чтобы силовые линии создаваемого ими поля были параллельны силовым линиям возбуждаемого колебания. Штыревой возбудитель должен быть параллелен электрическим силовым линиям колебания, а плоскость петли петлевого возбудителя ортогональна магнитным силовым линиям колебания и пронизываться ими.
Щелевой возбудитель в стенке резонатора должен находится в области максимума касательных к стенке магнитных силовых линий и быть ориентированным параллельно им, чтобы пересекать линии тока в стенке. На рисунке 3 показаны способы возбуждения колебания 
. Поскольку у данного колебания поле однородно по высоте резонатора, щелевой и петлевой возбудители можно располагать на произвольном расстоянии от торцевых стенок. Для того, чтобы разредить спектр колебаний резонатора и не возбуждать колебаний с нечетным продольным индексом =1,3,5…, выбрано симметричное по высоте (длине) резонатора расположение возбудителей.
Рисунок 3. Возбуждение цилиндрического - резонатора
1 -штыревой возбудитель с коаксиальной линией;
2 -петлевой возбудитель с коаксиальной линией;
3 -щелевой возбудитель с прямоугольным волноводом;
силовые линии Е;
силовые линии Н;
линии поверхностного тока.
3. ПРИМЕР РАСЧЕТА РЕЗОНАТОРА
3.1 Исходные данные
Пусть заданы следующие исходные данные:
-тип рабочего колебания: 
;
-резонансная частота колебания: =10,0 ГГц;
-полосы частот без других колебаний: =900 МГц, =1000 МГц;
-покрытие внутренней поверхности резонатора: серебро;
-среда, заполняющая резонатор: воздух при нормальных условиях.
3.2 Расчет резонатора
На номограмме типов колебаний (рисунок 2) находим линию колебания . По ней двигаемся слева направо и в области ~1 выбираем точку 
, в которой расстояние по вертикали до ближайшей линии колебания сверху (
или 
) и расстояние 
по вертикали до ближайшей линии колебаний снизу (
) максимальны. Так как линии рабочего колебания и колебания снизу параллельны, то расстояние между ними постоянно, поэтому положение точки будет определяться расстоянием до линий колебаний сверху ( и/или ), которое будет максимальным в точке их пересечения. Как видно из номограммы, область 
~3,6 является областью второго возможного решения, в которую нужно будет перейти, если требования по , в первой области окажутся невыполнимыми.
Проводим горизонтальную прямую из выбранной рабочей точки до пересечения с осью OY и находим значение 
=12,0. Опускаем вертикальную прямую из рабочей точки на ось OX и находим значение 
=1,15. Из точек пересечения вертикальной линии с линиями колебаний и проводим горизонтальные прямые до OY и находим значения 
=14,7 и 
=8,8.
По формулам (10) проверяем выполнение требований для ,
, 
.
Требования с обеих сторон выполняются с запасом, поэтому переходим к расчету размеров резонатора.
Из таблицы 1 берем значение первого (
) корня производной функции Бесселя второго порядка (
): 
. Для заполняющей резонатор среды –воздуха при нормальных условиях 
. По формуле (11) находим диаметр резонатора
.
По формуле (12) находим длину резонатора
.
По формуле (1) при найденных проверяем значение полученной резонансной частоты заданного колебания . Уточняем выполнение требований по полосам частот, свободным от других колебаний - и сверху и снизу. По формуле (1) при найденных рассчитываем резонансные частоты этих колебаний, подставляя в качестве соответственно 
из таблицы 1. Расчет приводит к резонансным частотам 11,179 ГГц, 11,159 ГГц для -, - колебаний и 8,550 ГГц для -колебания – ближайших колебаний выше и ниже рабочей резонансной частоты 10,0 ГГц. Таким образом, заданные требования по =0,9 ГГц и =1 ГГц выполняются.
По формуле (6) для - колебаний рассчитываем собственную добротность резонатора с посеребренной внутренней поверхностью. Из таблицы 2 выбираем значения удельной электропроводности и относительной магнитной проницаемости серебра: 
. Рассчитываем вначале глубину скин-слоя в серебре на частоте 10 ГГц.
.
Ввиду громоздкости формулы (6) приведем только окончательный результат расчета собственной добротности резонатора 
.
Колебание можно возбудить петлевым возбудителем с коаксиальной линией или щелевым возбудителем с волноводом, расположенными аналогично рисунку 3, но развернутыми вокруг своей оси на 90о так, чтобы щель была параллельна оси резонатора, а плоскость петли ортогональна ей. Возможно также возбуждение колебания штырем на цилиндрической поверхности резонатора в середине по высоте резонатора.
Отметим, что колебания 
не могут возбуждаться штыревым возбудителем, поскольку не имеют нормальной к стенкам компоненты .
Список литературы
1. Федоров Н.Н. Основы электродинамики.-М.: Высшая школа, 1980.
2. Баскаков С.И. Основы электродинамики.-М.: Сов.радио, 1973.
3. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн.-М.: Наука, 1989, с.289-317.