Работы Д.-К. Максвелла, И.А.Вышнеградского, А.Стодолы, заложившие основу ТАР
Лекция 5 - Непрямое регулирование. Работы А.Стодолы: «О регулировании турбин I» (1893), «О регулировании турбин II» (1984), «Принцип регулирования Cименсов и американские инерционные регуляторы» (1899)
(продолжение)
Регулятор непрямого действия без обратной связи (РНД без ОС)
Рисунок 5.1 – Принципиальная схема РНД без ОС
Регулятор состоит из центробежного измерителя частоты вращения, гидравлического сервомотора с отсечным золотником и рычага, соединяющего муфту измерителя со штоком золотника.
Уравнения динамики (движений) РНД без ОС
(5.1)
После преобразования уравнений (5.1) по Лапласу (Pierre Simon Laplas, 1749 - 1827) динамику РНД без ОС можно представить в виде следующей структурной схемы
Рисунок 5.2 – Структурная схема РНД без ОС
Уравнения динамики РНД без ОС (5.1) можно представить в виде одного уравнения
. (5.2)
После преобразования по Лапласу уравнения (5.2) динамику РНД без ОС можно представить следующей структурной схемой.
Рисунок 5.3 – Структурная схема РНД без ОС после преобразования
Регулятор непрямого действия с жесткой отрицательной обратной связью
(РНД с ЖООС)
Рисунок 5.3 – Принципиальная схема РНД с ЖООС
Регулятор состоит из центробежного измерителя частоты вращения, гидравлического сервомотора с отсечным золотником и рычага, соединяющего муфту измерителя со штоком золотника и штоком сервомотора.
Уравнения динамики (движений) РНД с ЖООС
(5.3)
После преобразования уравнений (5.3) по Лапласу динамику РНД с ЖООС можно представить в виде следующей структурной схемы
Рисунок 5.4 – Структурная схема РНД с ЖООС
Уравнения динамики РНД с ЖООС (5.3) можно представить в виде одного уравнения
. (5.4)
После преобразования по Лапласу уравнения (5.4) динамику РНД с ЖООС можно представить следующей структурной схемой.
Рисунок 5.5 – Структурная схема РНД с ЖООС после преобразования
Регулятор непрямого действия с гибкой отрицательной обратной связью
(РНД с ГООС)
Рисунок 5.5– Принципиальная схема РНД с ГООС
Регулятор состоит из центробежного измерителя частоты вращения, гидравлического сервомотора с отсечным золотником, изодрома и рычага, соединяющего муфту измерителя со штоком изодрома.
Уравнения динамики (движений) РНД с ГООС
(5.5)
После преобразования уравнений (5.5) по Лапласу динамику РНД с ГООС можно представить в виде следующей структурной схемы.
Рисунок 5.6– Структурная схема РНД с ГООС
Уравнения динамики РНД с ГООС (5.5) можно представить в виде одного уравнения
(5.6)
После преобразования по Лапласу уравнения (5.6) динамику РНД с ГООС можно представить следующей структурной схемой
Рисунок 5.7 – Структурная схема РНД с ГООС после преобразования
5.4 Система автоматического регулирования (САР) частоты вращения турбины
РНД без ОС
Рисунок 5.7 – Принципиальная схема САР частоты вращения турбины РНД без ОС
Уравнения динамики САР с РНД без ОС
(5.7)
После преобразования уравнений (5.7) по Лапласу динамику САР с РНД без ОС можно представить в виде следующей структурной схемы
Рисунок 5.8 – Структурная схема регулирования частоты вращения турбины с РНД без ОС
Систему уравнений динамики (5.7) можно представить в виде одного дифференциального уравнения 4-го порядка относительно переменной 
, (5.8)
где:
; 
; 
; 
; 
.
; 
; 
.
За входную переменную в выражении (5.8) принято относительное изменение нагрузки на турбину 
, за выходную переменную принято относительное изменение частоты вращения турбины .
Устойчивость САР с уравнениями динамики (5.7), или уравнением (5.8), определяется по корням 
характеристического уравнения
. (5.9)
САР устойчива, если все корни уравнения (5.9) являются отрицательными (или с отрицательной вещественной частью в случае наличия комплексно-сопряженных корней).
Согласно условия А.Стодолы и условий А.Гурвица САР будет устойчива, если
, 
, 
, 
, 
и 
, 
.
После преобразования по Лапласу уравнение (5.8) можно представить следующей структурной схемой
Рисунок 5.9 – Структурная схема 1
Систему уравнений динамики (5.7) можно представить в виде другого дифференциального уравнения 4-го порядка относительно переменной 
, где 
. (5.10)
После преобразования по Лапласу уравнение (5.10) можно представить следующей структурной схемой
Рисунок 5.10 – Структурная схема 2
Систему уравнений динамики (5.7) можно представить в виде дифференциального уравнения 4-го порядка относительно переменной 
. (5.11)
После преобразования по Лапласу уравнение (5.11) можно представить следующей структурной схемой
Рисунок 5.11 – Структурная схема 3
Выражение, заключенное в структурных схемах в прямоугольнике между входной переменной и выходной переменной, называется передаточной функцией 
и получается как отношение преобразованных по Лапласу выходной переменной к входной переменной при нулевых начальных условиях
;
;
.
В знаменателе передаточной функции находится характеристический полином вида (5.9).
5.5 Система автоматического регулирования (САР) частоты вращения турбины
РНД с ЖООС
Рисунок 5.12 – Принципиальная схема регулирования частоты вращения турбины
с РНД с ЖООС
Уравнения динамики САР с РНД с ЖООС
(5.12)
По уравнениям системы (5.12) после преобразования их по Лапласу динамику САР с РНД с ЖООС можно представить следующей структурной схемой
Рисунок 5.13 – Структурная схема регулирования частоты вращения турбины
с РНД с ЖООС
Считая входной переменой переменную 
, а выходной переменной переменную 
, систему уравнений динамики (5.7) можно представить в виде одного дифференциального уравнения 4-го порядка
,
где:
; 
; 
; 
; 
.
.
Считая входной переменой переменную , а выходной переменной переменную 
, систему уравнений динамики (5.7) можно представить в виде дифференциального уравнения
.
Система будет устойчивой, если для значений ее коэффициентов выполняются условия
, 
, 
, 
, 
и 
, 
.
5.6 Система автоматического регулирования (САР) частоты вращения турбины
РНД с ГООС
Рисунок 5 – Принципиальная схема регулирования частоты вращения турбины
с РНД с ГООС
Уравнения динамики САР с РНД с ГООС
(5.13)
По уравнениям системы (5.13) после преобразования их по Лапласу динамику САР с РНД с ГООС можно представить следующей структурной схемой
Рисунок 6 – Структурная схема регулирования частоты вращения турбины
с РНД с ГООС
Считая входной переменой переменную , а выходной переменной переменную 
, систему уравнений динамики (5.13) можно представить в виде одного дифференциального уравнения 5-го порядка
, (5.14)
где:
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
;
.
После преобразования по Лапласу уравнение (5.14) можно представить следующей структурной схемой
Считая входной переменой переменную , а выходной переменной переменную 
, систему уравнений динамики (5.13) можно представить в виде дифференциального уравнения 5-го порядка
. (5.15)
После преобразования по Лапласу уравнение (5.15) можно представить следующей структурной схемой
Устойчивость САР с РНД с ГООС (отсутствие в характеристическом полиноме нулевых корней и положительных корней, или комплексно-сопряженых корней с положительной вещественной частью) будет определяться выполнением следующих условий:
, , , 
, , 
и
, 
, 
.
В заключение в отношении работ А.Стодолы можно сделать следующие выводы:
1) Стодола, оперируя линейными уравнениями движения, «в духе» Д.-К.Максвелла и И.А.Вышнеградского, создал линейную теорию непрямого регулирования, вызванную настоятельной технической потребностью, связанной с широким внедрением в промышленность гидравлических машин.
2) Стодола, не зная работ Рауса, доказал необходимое условие устойчивости для полиномов 
-й степени с вещественными коэффициентами и выдвинул задачу об отыскании необходимых и достаточных условий.
3) Стодола впервые ввел в запись уравнений движения коэффициенты, называемые «Постоянными времени», придав уравнениям движения более наглядный физический смысл.
4) Стодола показал возможность исследования систем достаточно высокого порядка (с характеристическими полиномами высокой степени) по, так называемым, идеализированным (или вырожденным) системам (с характеристическими полиномами более низкой степени).
5) Стодола создал теорию так называемых инерционных регуляторов прямого действия – плоских американских регуляторов. При этом Стодола встал первым на защиту тезиса Вышнеградского о необходимости применения катаракта. Объяснил влияние кулоновского трения на работу регуляторов.
Подводя итог сказанному, приведу цитату академика А.А.Андронова:
«… Стодола распространил инженерную теорию регулирования Вышнеградского, относившуюся к регуляторам прямого действия, на всю громадную область непрямого регулирования и придал ей ту форму, которая, в основном, удержалась вплоть до настоящего времени. А разъяснением действия сил кулоновского трения на процесс регулирования и многочисленными опытами, поставленными для проверки выводов теории, Стодола окончательно убедил инженеров не только в динамической правильности основ линеаризованной теории, но и в ее исключительной практической эффективности».