Даны два ряда: 
и 
Если существует конечный, отличный от нуля предел отношения общих членов этих рядов: 
то ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, при этом говорят, что члены у этих рядов одинакового порядка.
Пример:
сходится, т.к. его можно сравнить со сходящимся рядом 
Признак Даламбера
Если существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему: 
, то если 
ряд расходится, если 
ряд сходится, если 
нужны дополнительные исследования сходимости ряда.
Примеры: 1) 
сходится, т.к. 
2) 
расходится, т.к. 
3) Гармонический ряд 
расходится, а 
4) 
сходится, а 
Замечание: признак Даламбера удобен, когда члены ряда содержат показательную функцию или n -факториал. Если член ряда есть дробно-степенная функция, признак Даламбера не решает вопрос о поведении ряда.
Интегральный признак сходимости рядов:
Ряд 
и 
(при 
на 
одновременно сходится или расходится.
Этот признак может быть использован для вывода о сходимости рядов 
при 
ряд сходится, 
ряд расходится. Поведение соответствующих интегралов рассмотрено в теме «несобственные интегралы».
Ряды знакопостоянные сходятся, если их члены достаточно быстро стремятся к нулю.
Знакопеременные ряды могут сходиться не благодаря быстрому стремлению членов ряда к нулю, а из-за того, что последовательность частных сумм не является монотонной.
Если ряд сходится, и ряд из модулей членов ряда тоже сходится, то ряд называют абсолютно сходящимся.
Если ряд сходится, а ряд из модулей членов ряда расходится, то ряд называют условно сходящимся.
Условно сходиться могут только знакопеременные ряды.
Теорема: Если ряд из модулей членов ряда сходится, то и сам ряд сходится.
|
|
В доказательстве используют первый признак сравнения.
Из знакопеременных рядов рассмотрим знакочередующиеся ряды, т.е. такие ряды, у которых любые два соседних члена имеют разные знаки. Для таких рядов есть достаточное условие сходимости.
Теорема Лейбница
Если в знакочередующемся ряде 
выполняются два условия: 1) члены ряда убывают по абсолютной величине 
. 2) предел общего члена равен нулю 
, то ряд сходится, и модуль суммы этого ряда не превосходит модуля первого члена.
Доказательство:
Рассмотрим частичные суммы с четными номерами: 
разности во всех скобках неотрицательны, поэтому 
– возрастающая последовательность. С другой стороны, 
поэтому 
, т.к. все разности в скобках неотрицательны. Ограниченная возрастающая последовательность имеет конечный предел, т.е. 
причем 
Рассмотрим предел последовательности частичных сумм с нечетными номерами:
т.е. и частичные суммы с нечетными номерами имеют тот же предел, т.е. ряд сходится, а т.к. 
и их предел не превосходит по абсолютной величине модуля первого члена ряда.
Пример: 
Этот ряд не является абсолютно сходящимся, т.к. 
- гармонический ряд. Однако, условия теоремы Лейбница выполняются: 1) 
и 
поэтому ряд сходится (сходимость условная)
Замечание: Если условие 1) выполняется, начиная с какого-то номера в последовательности членов, то вывод о сходимости ряда сохраняется, а оценка модуля суммы ряда модулем первого члена ряда не имеет места.
Следствие: если остаток ряда удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то при замене ряда частичной суммой погрешность не превзойдет абсолютной величины первого отброшенного члена.
|
|
Замечание: Абсолютно сходящиеся ряды сходятся к одной и той же сумме, как бы произвольно не переставлены были члены ряда, т.е. ведут себя так же, как конечные суммы.
Условно сходящийся ряд перестановкой членов ряда можно заставить сходится к любому наперед заданному числу или расходиться.