Пересечение прямой и плоскости

1) если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;

2) если прямые II пл., то M ¹Æ;

3) если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.

 

Пересечение системы множеств:

4) Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

 

С = А \ В

 

A \ B

A \ B

А

А \ В

B

A

В

А

В

 

A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.

 

В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

2) не коммутативна, т.е. A\B ¹ B\A.

 

4) дополнение

E – универсальное множество.

-- дополнение

 

Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.

Основные законы операций над множествами.

Некоторые свойства È, Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.

 

Основные свойства

 

1) AUB=BUA; AÇB=BÇA – переместительный закон объединения и пересечения.

2) (АUB)UC = AU(BUC); (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC) – сочетательный закон.

3) АUÆ=A, A Ç Æ=Æ, A \ Æ=A, A \ A=Æ

1,2,3 – есть аналог в алгебре.

3.а) Æ \ A = Æ - нет аналога.

4) Æ; E \ A = ; A \ E=Æ; AUA=A; AÇA=A; AUE=E; AÇE=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

5) AÇ(BUC)=(AÇB)(AÇC) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U.

Прямые произведения и функции

 

Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎА, bÎB.

 

С=AхВ, если А=В то С=А².

 

Прямыми «х» n множеств A₁x,…,xA_n называется множество векторов (a₁,…a_n) таких, что a₁ÎA₁,…, A_nÎA_n.

 

Через теорию множеств введем понятие функции.

 

Подмножество FÎM_x x M_y называется функцией, если для каждого элемента хÎM_x найдется yÎМ_у не более одного.

(x;y)ÎF, y=F(x).

 

Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:

 

Определение: Между множествами M_X и M_Y установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎM_X соответствует 1 элемент yÎM_Y и обратное справедливо.

Пример: 1) (х,у) в круге

2) x = sinx

Rà R

Пусть даны две функции f: AàB и g: BàC, то функция y:AàC называется композицией функций f и g.

 

Y=f o g o – композиция.

 

Способы задания функций:

 

1) таблицы, определены для конечных множеств;

2) формула;

3) графики;

 

Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.

 

Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!

 

Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.

 

Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.

 

Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2^|A|=2ⁿ.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.

 

Множество N² – счетно.

Доказательство

 

Разобьем N² на классы

К 1-ому классу отнесем N₁ (1; 1)

 

	1-ый элемент 1-го множества		1-ый элемент 2-го множества

 

Ко 2-му классу N₂ {(1;2), (2;1)}

К i-му классу N_i {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар.

 

Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.

 

Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N².

 

Аналогично доказывается счетность множеств N³,…,N^k.

 

Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.

 

Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.

	}

1-я 0, a₁₁, a₁₂ ….

2-я 0, а₂₁, a₂₂ ….

………………….

 

Возьмем произвольное число 0,b₁,b₂,b₃

b₁ ¹ a₁₁, b₂ ¹ a₂₂, …

Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.

 

Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.

 

Отношение

Пусть дано RÍMⁿ – n местное отношение на множество М.

 

Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.

 

Проведем отношение на множество N:

А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.

 

Пример отношения на множество R

 

А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.

 

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.

 

Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна

 

С=

С=

 

Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.

 

 

Отношением назовется обратным к отношением R, если a_jR_ai тогда и только тогда, когда a_jR_ai обозначают R^-1.

Свойства отношений

1. Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

£ рефлексивное

< антирефлексивное

2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы

сумм C_ij=C_ji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b

3. Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.

4. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E

 

5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,

антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,

если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого

б) отношение < u > для чисел отношение строгого