Что такое площадь комнаты и как её вычислить, если пол в комнате имеет форму прямоугольника, понятно каждому. В этой главе речь пойдёт об измерении площадей многоугольников и будут выведены формулы, по которым можно вычислить площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Эти формулы нужны не только в геометрии, но и в практической деятельности. Кроме того, используя формулы площадей, мы докажем одну из важнейших и самых знаменитых теорем геометрии — теорему Пифагора.
Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна шестнадцати квадратным метрам, площадь садового участка — восьми соткам и т. д. В этой главе мы рассмотрим вопрос о площадях многоугольников.
Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см2. Аналогично определяется квадратный метр (м2), квадратный миллиметр (мм2) и т. д.
При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике. Рассмотрим примеры. На рисунке 177, а изображён прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает, что площадь прямоугольника равна 6 см2.
В трапеции ABCD, изображённой на рисунке 177, б, квадратный сантиметр укладывается два раза и остаётся часть трапеции — треугольник CDE, в котором квадратный сантиметр не укладывается целиком. Для измерения площади этого треугольника нужно использовать доли квадратного сантиметра, например квадратный миллиметр. Он составляет 0,01 часть квадратного сантиметра. Это показано на рисунке 177,в, где квадратный сантиметр разбит на 100 квадратных миллиметров (этот рисунок, а также рисунок 177, г для большей наглядности даны в увеличенном масштабе).
На рисунке 177, г видно, что квадратный миллиметр укладывается в треугольнике CDE 14 раз, и остаётся часть этого треугольника (она закрашена на рисунке), в которой квадратный миллиметр не укладывается целиком. Поэтому можно сказать, что площадь трапеции ABCD приближённо равна 2,14 см2.
Оставшуюся часть треугольника CDE можно измерить с помощью более мелкой доли квадратного сантиметра и получить более точное значение площади трапеции.
Описанный процесс измерения можно продолжить далее, однако на практике он неудобен.
Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определённым формулам.
Вывод этих формул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас рассмотрим.
Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и её части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т. е. имеет место следующее свойство:
| 10. Равные многоугольники имеют равные площади. |
Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников так, что внутренние области любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек, как показано на рисунке 178. Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак:
| 20. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. |
Свойства 10 и 20 называют основными свойствами площадей. Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков.
Наряду с этими свойствами нам понадобится ещё одно свойство площадей.
| 30. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. |
Краткую формулировку этого свойства следует понимать так: если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом а, то площадь этого квадрата выражается числом а2.
На рисунке 179 изображён квадрат, сторона которого равна 2,1 см. Он состоит из четырёх квадратных сантиметров и сорока одного квадратного миллиметра. Таким образом, площадь квадрата равна 4,41 см2, что равно квадрату его стороны: 4,41 = (2,1)2. Доказательство утверждения 30 приведено в следующем пункте.
Если площади двух многоугольников равны, то эти многоугольники называются равновеликими. Если один многоугольник разрезан на несколько многоугольников и из них составлен другой многоугольник, то такие многоугольники называются равносоставленными. Например, прямоугольник со сторонами, равными 2 см и Зсм (см. рис. 177, а), равносоставлен с прямоугольником со сторонами, равными 1 см и 6 см. Ясно, что любые два равносоставленных многоугольника равновеликие (см. основные свойства площадей). Оказывается, что верно и обратное утверждение: если два многоугольника равновеликие, то они равносоставленные. Это утверждение называется теоремой Бойяи — Гервина. Венгерский математик Ф. Бойяи доказал эту теорему в 1832 г., а немецкий математик-любитель П. Гервин независимо от Ф. Бойяи доказал её в 1833 г.
Площадь квадрата
Докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а2.
Начнём с того случая, когда 
где n — целое число. Возьмём квадрат со стороной 1 и разобьём его на n2 равных квадратов так, как показано на рисунке 180, а (на этом рисунке n = 5). Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна 
Сторона каждого маленького квадрата равна 
равна а. Итак,
Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую п знаков после запятой (в частности, число а может быть целым, и тогда n = 0). Тогда число m + а • 10n Целое. Разобьём данный квадрат со стороной а на m2 равных квадратов так, как показано на рисунке 180, б (на этом рисунке m = 7).
При этом каждая сторона данного квадрата разобьётся на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна
По формуле (1) площадь маленького квадрата равна 
Следовательно, площадь S данного квадрата равна
Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число ап, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число а отличается от аn не более чем на 
то 
откуда
Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной аn и площадью квадрата со стороной 
(рис. 180, в), т. е. между 
Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 
будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число 
будет сколь угодно мало отличаться от числа 
Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а2. Следовательно, эти числа равны: S = a2, что и требовалось доказать.
Площадь прямоугольника
Теорема
| Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. |
Доказательство
Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадью S (рис. 181, а). Докажем, что S = ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + b, как показано на рисунке 181, б. По свойству 30 площадь этого квадрата равна (а + b)2.
С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 10 площадей) и двух квадратов с площадями а2 и b2 (свойство 30 площадей). По свойству 20 имеем:
(a + b)2 = S + S + а2 + b2, или
а2 + 2ab + b2 = 2S + а2 + b2.
Отсюда получаем: S = ab. Теорема доказана.
Площадь параллелограмма
Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, — высотой параллелограмма.
Теорема
| Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. |
Доказательство
Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведём высоты ВН и СК (рис. 182). Докажем, что S = AD • ВН.
Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы АВ и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей AD), поэтому их площади равны.
Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S = ВС • ВН, а так как ВС = AD, то S = AD • ВН. Теорема доказана.
Площадь треугольника
Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Если основание выбрано, то под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведённую к основанию. Теорема
| Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. |
Доказательство
Пусть S — площадь треугольника АВС (рис. 183). Примем сторону АВ за основание треугольника и проведём высоту СН. Докажем, что
Достроим треугольник АВС до параллелограмма ABDC так, как показано на рисунке 183. Треугольники АВС и DCB равны по трём сторонам (ВС — их общая сторона, АВ = CD и АС = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е. 
Теорема доказана.
Следствие 1
| Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. |
Следствие 2
| Если высоты двух треугольников равны, то и площади относятся как основания. |
Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.
Теорема
| Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. |
Доказательство
Пусть S и S1 — площади треугольников АВС и A1B1C1, у которых ∠A = ∠A1 (рис. 184, а). Докажем, что
Наложим треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А, а стороны А1В1 и A1С1 наложились соответственно на лучи АВ и АС (рис. 184, б). Треугольники АВС и АВ1С имеют общую высоту — CН, поэтому 
Треугольники АВ1С и АВ1С1 также имеют общую высоту — В1Н1, поэтому 
Перемножая полученные равенства, находим:
Теорема доказана.
Площадь трапеции
Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника (рис. 185, а). Используя этот приём, выведем формулу для вычисления площади трапеции. Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке 185, б отрезок ВН (а также отрезок DH1) — высота трапеции ABCD.
Теорема
| Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. |
Доказательство
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, высотой ВН и площадью S (см. рис. 185, б).
Докажем, что
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD + SBCD.
Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки ВС и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда
Теорема доказана.
Теорема Пифагора
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора. Она является важнейшей теоремой геометрии.
Теорема
| В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Доказательство
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 186, а). Докажем, что с2 = а2 + b2.
Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке 186,6. Площадь S этого квадрата равна (a + b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 
и квадрата со стороной с, поэтому
Таким образом, (а + b)2 = 2аb + с2, откуда с2 = а2 + b2.
Теорема доказана.
Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифа- гора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. С одним из них мы уже познакомились, ещё с одним познакомимся в следующей главе (задача 578). Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.
Теорема, обратная теореме Пифагора
Теорема
| Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. |
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС АВ2 = АС2 + ВС2. Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник А1В1С1 с прямым Углом С1, у которого А1С1 = АС и В1С1 = ВС. По теореме Пифагора 
и, значит, 
Но АС2 + ВС2 = АВ2 по условию теоремы. Следовательно, 
откуда А1В1 = АВ.
Треугольники АВС и А1В1С1 равны по трём сторонам, поэтому ∠C = ∠C1, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана.
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным: 51 = 31 + 41. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25 (объясните почему).
Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты а, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами a = 2k • m • n, b = k(m2 - n2), c = k(m2 + n2), где k, m и n — любые натуральные числа, такие, что m > n.
Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на верёвке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали концы верёвки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.
Формула Герона
Теорема
Площадь S треугольника со сторонами а, b, с выражается формулой  где  — полупериметр треугольника.
|
Доказательство
Рассмотрим треугольник АВС, в котором AB = с, ВС = а, АС = b. В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть А и В — острые углы треугольника АВС. Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ. Введём обозначения: CH = h, АН = у, НВ = х (рис. 187). По теореме Пифагора a2 - x2 = h2 = b2 - y2, откуда у2 - х2 = b2 - а2, или (у - х) (у + х) = b2 - а2. Так как у + х = с, то 
Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим:
Поэтому
Теорема доказана.
Выведенную нами формулу обычно называют формулой Герона, по имени древнегреческого математика Герона Александрийского, жившего предположительно в I в. н. э.
Хочу сказать что МАТЕМАТИКА очень нужная вещь в жизни.
Учите математику ребята и все предметы в школе, ведь не просто вам дают эти знания.