Задание 1
Все рёбра правильной треугольной призмы 
имеют длину 
. Точки 
и 
— середины рёбер 
и 
соответственно.
а) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
.
|
Решение. а) Пусть точка 
— середина 
. Тогда
.
Вместе с тем
,
а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным с прямым углом .
б) Проведём перпендикуляр 
к прямой 
. Тогда 
и 
. Следовательно, 
. Поэтому 
— проекция на плоскость 
.
Прямая перпендикулярна , тогда по теореме о трёх перпендикулярах 
. Следовательно, угол 
— линейный угол искомого угла.
Длина равна половине высоты треугольника 
, то есть 
. Поэтому 
. Следовательно, 
.
Ответ: б) 
.
Задание 2
В правильной четырёхугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 6, а боковое ребро 
равно 7. На рёбрах 
и 
отмечены точки и 
соответственно, причём 
. Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой .
Рис. 1
Рис. 2
|
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой 
.
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости .
Решение.
а) По условию 
, значит, прямые 
и параллельны. Следовательно, плоскости 
и параллельны (рис. 1).
Поскольку отрезки и 
параллельны, а плоскость параллельна плоскости , прямая параллельна плоскости .
б) Поскольку плоскость параллельна прямой , расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой до плоскости . Пусть точки 
и 
— середины рёбер и соответственно. Тогда прямые 
и 
перпендикулярны прямой . Таким образом, плоскость 
перпендикулярна прямой и параллельной ей плоскости . Пусть плоскость пересекает прямые и в точках 
и 
соответственно (рис. 2). Тогда искомое расстояние равно расстоянию 
от точки до прямой 
. Высота 
пирамиды лежит в плоскости , откуда
, 
; 
.
Плоскости и 
параллельны, поэтому 
, откуда
.
Ответ: б) 
.
Пример 1.
В правильной треугольной призме сторона 
основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и 
отмечены точки и 
соответственно, причём 
. Точка — середина ребра 
. Плоскость 
параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) 
.
Комментарий.
Доказательство утверждения в пункте а недостаточно обоснованно. С использованием утверждения пункта а верно получен ответ в пункте б.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 2.
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .
Комментарий.
Утверждение в пункте а не доказано. В основе решения пункта б лежит необоснованное утверждение.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 3.
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .
Комментарий.
Доказательство утверждения в пункте а содержит неточности. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 4.
Основанием четырёхугольной пирамиды 
является трапеция 
, причём 
. Плоскости 
и 
перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды 
, если 
, а высота пирамиды равна 9.
Ответ: б) 12.
Комментарий.
Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 5.
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
Ответ: б) .
Комментарий.
Утверждение в пункте а доказано. В решении пункта б есть неточность в решении системы уравнений (выражение С через А), а при применении формулы расстояния от точки до плоскости неверно найден модуль вектора нормали (не относится к вычислительной ошибке).
Оценка эксперта: 1 балл.