МОДУЛЬ 2
ОСНОВЫЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ на базе систем
Компьютерной математики
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1
Приближенные решения нелинейных алгебраических уравнений
Цель: изучить основные методы приближенного решения нелинейных уравнений с помощью приложения Smath Studio
Вопросы для самоконтроля
1. Какие существуют способы исследования функции?
2. Какие методы используют для нахождения корней уравнения?
3. Для чего используют процедуру отделения корней?
4. В чем суть метода дихотомии?
5. В чем суть методов хорд и Ньютона? Что общего между этими методами?
6. Критерии остановки итерационного процесса.
Индивидуальные задания
Найти приближенные решения нелинейных алгебраических уравнений. Отделить корни заданого уравнения. Если корней несколько, то уточнить один из них указанными методами (табл)
(А) – методом половинного деления (дихотомии);
(Б) – методом хорд;
(В) – методом касательных (методом Ньютона).
Сравнить результаты, полученные разными методами. Сделать проверку.
Таблица 1– Варианты заданий
| Вариант | Уравнение | Метод | Вариант | Уравнение | Метод |
| А В | 
| А В | ||
| А В | 
| А В | ||
| А В | 
| А В | ||
| А В | 
| Б В | ||
| А В | 
| А В | ||
| А В | 
| А Б | ||
| А В | 
| Б В | ||
| Б В | 
| А Б | ||
| А В | 
| Б В | ||
|
| Б В | 
| Б В | ||
| А Б | 
| А Б | ||
| А Б | 
| Б В | ||
| Б В |
Пример выполнения задания
Найти приближенные решения нелинейных алгебраических уравнений. Отделить корни заданого уравнения. Если корней несколько, то уточнить один из них указанными методами.
(А) – методом половинного деления (дихотомии);
(Б) – методом хорд;
(В) – методом касательных (методом Ньютона).
Сравнить результаты, полученные разными методами. Сделать проверку.
Методические рекомендации
Решения уравнений приближенными методами будем находить, используя основные элементы программирования, а именно циклические оперторы. Наличие и количество корней уравнения определяем графически, изолируя корни, уточням их приближенными методами.
1. Задаем функцию.
2. Рассмотим метод половинного деления.
2.1. Рассчитываем длину отрезка, на котором уточняется корень, как разницу между концами отрезка.
2.2. Используя цикл while, уточняется корень. Находим середину отрезка и, с помощью операторов условного перехода, из двух половин выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки.
2.3. Цикл повторяется до тех пор, пока длина исследуемого отрезка не станет больше заданного числа ε.
Листинг программы в SMathStudio:
3. Рассмотрим метод хорд.
3.1. Задаем вычисление второй производной функции.
3.2. Используя условный оператор, проверяем знак выражения f (a) f² (a). В зависимости от знака, метод хорд имеет два решения.
3.3. Используя цикл while, уточняем корень.
3.4. Окончание итерационного цикла в этом методе происходит по условию малости невязки уравнения: | f (xn)| ≤ e.
Листинг программы в SMathStudio:
где n – количество итераций. Заданная точность достигнута на 233 итерации.
4. Рассмотрим метод Ньютона.
4.1. Задаем вычисления первой и второй производных функции.
4.2. Используя условный оператор, проверяем знак выражения f (a) f² (a).
4.3. Используя цикл while, уточняем корень. По формуле вычисляем точку пересечения касательной с осью абцисс.
Листинг программы в SMathStudio:
Заданная точность достигнута на восьмой итерации.
Результаты, полученные с использованием разных методов, совпадают. Для данного нелинейного уравнения выбор того или иного приближенного метода решения зависит от скорости сходимости итерационного процесса.