ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫРЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Общие сведения о дифференциальных уравнениях в частных производных
Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяются спецификой уравнения). Уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например, пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например, u(x,t) в некоторой области определения аргументов 0<x<L и 0<t<T.
Линейным уравнением в частных производных второго порядка называется соотношение между функцией 
(или 
) и ее частными производными вида:
(1.1)
В случае, если F=0, то уравнение (1.1) называется однородным, иначе – неоднородным.
Если В2-АС<0, то уравнение (1.1) относится к классу эллиптических уравнений; если В2-АС>0, то (1.1) – гиперболическое уравнение; если В2-АС=0, то (1.1) – параболическое уравнение.
В случае, когда В2-АС не имеет постоянного знака, получаем уравнение смешанного типа.
С помощью преобразования переменных x, y (или x, t) уравнение можно привести к виду, когда В=0. В этом случае очень просто определяется тип уравнения. Если А и С имеют один и тот же знак, то (1.1) относится к классу эллиптических уравнений; если разные, то – гиперболическое, а если А или С равно 0, то уравнение относится к параболическим.
Для нахождения единственного решения дифференциального уравнения в частных производных необходимо задать начальные и граничные условия. Начальными условиями принято называть условия, заданные в начальный момент времени t. Граничные условия задаются при различных значениях пространственных переменных. Для эллиптических уравнений задаются только граничные условия, которые можно разделить на три класса:
- условие Дирихле: 
.
В этом случае на границе области Г, в которой ищется решение, задана некоторая непрерывная функция 
. В одномерном случае это условие принимает вид:
где (0,L) – интервал, на котором ищется решение одномерной задачи;
- условие Неймана: 
.
В этом случае на границе области задана производная по направлению n внешней нормали;
- смешанное условие: 
.
Для параболических уравнений, кроме граничных условий, необходимо определить одно начальное, которое может быть таким:
.
В случае гиперболических уравнений начальные условия могут быть следующими:
и 
Пакет PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION (PDE)
Пакет Partial Differential Equation (PDE) содержит средства для численного моделирования нестационарных физических полей, описываемых уравнениями в частных производных второго порядка. В пакете используется проекционный метод Галёркина с конечными элементами. Команды и графический интерфейс пакета могут быть использованы для математического моделирования физических полей в двумерной расчётной области применительно к широкому классу инженерных и научных приложений, включая задачи сопротивления материалов, расчёты электромагнитных устройств, задачи тепломассопереноса и диффузии.
Основные свойства PDE Toolbox MATLAB:
· Полноценный графический интерфейс для обработки PDE второго порядка
· Автоматический и адаптивный выбор конечноэлементной сетки
· Задание граничных условий: Дирихле, Неймана и смешанные
· Гибкая постановка задачи с использованием синтаксиса языка MATLAB
· Полностью автоматическое сеточное разбиение и выбор величины конечных элементов
· Нелинейные и адаптивные расчётные схемы
· Возможность визуализации полученного в ходе решения PDE распределения требуемых физических величин, демонстрация принятого разбиения и анимационные эффекты.