Э. Кассирер. о символизме и роли языка математики в становлении науки

Эранс Кассирер (1892–1971) – немецкий философ, представитель второго поколения неоакнтианцев марбургской школы.

Неокантинство – направление в немецкой философии второй половины XIX — начала XX веков.

Центральный лозунг неокантианцев («Назад к Канту!») был сформулирован Отто Либманом в работе «Кант и эпигоны» (1865) в условиях кризиса философии и моды на материализм.

Э. Кассирер. о символизме и роли языка математики в становлении науки

Наука – последняя ступень в умственном развитии человека.Она продолжает оставаться вершиной и итогом всей человеческой деятельности, последней главой в истории человечества и самым важным предметом философии человека.

К науке можно применить слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры и я перевену вселенную». В изменчивой вселенной научная мысль фиксирует устойчивые точки неподвижные полюсы.

Задолго до того, как человек продошёл к созданию науки, его опыт уже не был аморфной массой чувственных впечатлений. Это мифические и лингвистические понятия. Анализ этих понятий показывает, что они не просты и не «примитивны». Первые классификации явлений в языке или мифе в некотором смысле гораздо более сложны и тонки, чем научные классификации.Наука начинает с поиска простоты.Почти все наши естественные науки прошли через мифологическую стадию.В истории научной мысли алхимия предшествовала химии, астрология — астрономии. Наука может подняться на более высокие ступени, лишь введя новые измерения, другой логический стандарт истины. Вместо того чтобы описывать отдельные и изолированные факты, наука стремится дать всесторонний взгляд на мир. Язык — первая попытка человека артикулировать мир своих чувственных восприятий.

Однако наука ищет в явлениях отнюдь не одну толькопростоту — она ищет порядок. Первые классификации, которые мы обнаруживаем в речи, не имеют строго теоретической цели. Имена объектов выполняют свою задачу в том случае, если они дают возможность сообщать наши мысли и согласовывать нашу практическую деятельность.Каждое явное сходство между различными явлениямидостаточно для того, чтобы обозначить эти явления общим именем. В некоторых языках бабочек относят к птицам, а кита — к рыбам. Приступая к построению своих первых классификаций, наука должна была уточнить и преодолеть эти поверхностные сходства. Создание согласованной систематической терминологии -— отнюдь не второстепенная черта науки: это один из ее необходимых, внутренне присущих ей элементов.

В научном развитии намеренно и методично осуществляется то, что бессознательно уже содержится в языке. На первых стадиях развития науки используются наименования вещей в том смысле, который они имеют в обыденной речи, поскольку они вполне пригодны для описания основных составных частей или качеств вещей.Во времена Пифагора и первых пифагорейцев древнегреческая философия открыла новый язык — язык чисел. Это открытие знаменует рождение нашего современного понимания науки.

Существование регулярностей, единой формы в явлениях природы — в движении планет, во вращении Солнца и Луны, смене времен года — было одним из первых великих открытий человечества. Пифагорейцы были первыми, кто понял число как всеохватный, подлинно универсальный элемент. Отныне его использование не ограничивается рамками особой исследовательской области, оно распространяется на всю сферу бытия. Когда Пифагор сделал свое первое великое открытие — обнаружил зависимость между высотой звука и длиной вибрирующих струн, — этот факт, а точнее его истолкование, стало решающим для всей будущей ориентации философской и математической мысли. Пифагор не считал, что это лишь открытие отдельного явления: казалось, была раскрыта одна из глубочайших тайн — тайна красоты. У древних греков красота всегда имела объективное значение: красота есть истина, основная черта самой действительности. Если красота, ощущаемая в гармонии звуков, сводится к простой числовой зависимости, значит именно число раскрывает нам фундаментальную структуру космического порядка.

Мысль о том, что мир числа есть символический мир, — была совершенно чужда пифагорейцам. Здесь, как и во всех других случаях, не могло существовать четкого разграничения между символом и объектом. Символ не только объяснял объект — он замещал его. Вещи не только относились к числу или выражались им — они и были сами числа. Мы ныне не считаем число средоточием реальности, но мы должны признать, что число — одна изосновных функций человеческого познания, необходимый шаг в великом процессе объективации. Этот процесс начался в языке, но в науке он приобрел совершенно иную форму, поскольку символика числа — это символика совершенно иного логического типа по сравнению с символикой речи. В языке осуществляются первые усилия по классификации, пока еще совсем не согласованные друг с другом.

Положение совершенно меняется в области чисел. Неможет быть и речи о существовании отдельных, единичных чисел. Сущность числа всегда относительна, а не абсолютна. Отдельное число — это всегда лишь отдельное место в общем систематическом порядке. У него нет собственного бытия как такового, нет самодостаточной реальности. Его значение определяется положением, которое оно занимает в целостной числовой системе. Ряд натуральных чисел бесконечен. И эта бесконечность не налагает ограничений на наше теоретическое познание. В числовой последовательности нет внешнего ограничения, «последнего предела». Однако есть ограничение внутренним логическим принципом. Все термины соединены воедино общей связью, они порождены одним и тем же производящим их отношением — отношением, которое связывает некоторое число с непосредственно за ним следующим (п + 1). Из этого простого отношения можно вывести все свойства целых чисел. Отличительный признак и величайшеелогическое преимущество этой системы состоит в ее совершенной прозрачности. В наших современных теориях — в теории Фреге и Рассела, Пеано и Дедекинда — число потеряло все свои онтологические секреты. Число осмысливается как новая и более мощная символическая система, превосходящая по своим научным результатам символизм речи. Ибо здесь уже больше нет отдельных слов, здесь только термины, выстроенные сообразно с одним и тем же основополагающим планом, и, следовательно, ясно и определенно раскрывающие нам структурный закон.

Пифагорово открытие было лишь первым шагом в развитии естественных наук. Вся пифагорейская теория числа была внезапно поставлена под вопроснеким новым фактом. Когда пифагорейцы обнаружили, чтов прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, несоизмерима с двумя другими сторонами, они столкнулись с совершенно новой проблемой. Во всей истории древнегреческой мысли и особенно в диалогах Платона чувствуются глубокие отзвуки этой дилеммы. Ведь она означала подлинный кризис древнегреческой математики (Первый кризис науки). Никто из древних мыслителей не смог решить эту проблему нашим современным способом, т.е. введением так называемых «иррациональных чисел». С точки зрения древнегреческой логики и математики, иррациональные числа были противоречием в терминах.Поскольку число определялось как целое число или как отношение между целыми числами, несоизмеримые отрезки были отрезками, которые не допускали никакого числового выражения, которые уничтожали, не ставили ни во что логическую силу числа. Пифагорейцы искали и нашли в числе совершенную гармонию всякого рода бытия и всех форм знания, восприятия, интуиции, мысли. С этого момента арифметика, геометрия, физика, музыка, астрономия стали казаться формой единого и взаимосогласованного целого. Всевещи в небесах и на земле стали «гармонией и числом». Открытие несоизмеримых отрезков было, однако, крахом этого тезиса: это ведь означало, что подлинной гармониимежду арифметикой и геометрией, между областью дискретных чисел и непрерывных количеств не существует.

Потребовались многовековые усилия математической и философской мысли для того, чтобы восстановить эту гармонию. Логическая теория математического континуума — одно из позднейших достижений математической мысли. Если бы было возможно силой человеческого духа создать произвольно область новых вещей, нам пришлось бы изменить все наши представления об объективной истине. Но вся эта дилемма теряет силу, если принимается во внимание символический характер числа: тогда сразу становится ясно, что введение новых классов чисел создает лишь новые символы, а не новые объекты. Натуральные числа в этом отношении ничем не отличаются от дробей или иррациональных чисел. Ониведь не являются описаниями или образами конкретных вещей или физических объектов. Расширение области натуральныхчисел, распространение их на более широкую область означает всего лишь введение новых символов, способных описать отношения более высокого порядка. Новые числа суть символы не простых отношений, а «отношений отношений» или «отношений отношений отношений» и т.д. Все это не вступает в противоречие со свойствами целых чисел: напротив, это проясняет и подтверждает эти свойства. Чтобызаполнить брешь между целыми числами, обозначающими дискретные количества, и миром физических событий, представляющих собой континуум пространства и времени, математическая мысль должна была воспользоваться новым инструментом. Если бы число было «вещью», проблема была бы неразрешима. Поскольку же это был только символический язык, нужно было всего лишь последовательно развивать словарь, морфологию и синтаксис этого языка.

Одним из первых великих открытий современной философии как раз и было понимание того, что все геометрические задачи допускают такое преобразование. Аналитическая геометрия Декарта дала первое убедительное доказательство такого отношения между протяженностью и числом. С этих пор язык геометрии перестал быть особым наречием. С тех пор в любой своей конкретной области физика стремится к одной и той же точке: она пытается подвести весь мир естественных явлений под контроль числа.

Квантовая механика в некотором смысле есть подлинное возрождение, обновление и подтверждение классического пифагореанского идеала. Но здесь, однако, нужно было ввести гораздо более абстрактный символический язык. Когда Демокрит описывал структуру своих атомов, он прибегал к аналогиям, взятым из мира нашего чувственного опыта. Он рисовал картину, образ атома, сходного с обычными предметами нашего макрокосма. Напрочь отсутствует этот образный язык в боровской модели атома. Наука больше не говорит на языке опыта здравого смысла — она говорит теперь на Пифагоровом языке. Чистая символика числа вытесняет и преодолевает символику обыденной речи. Теперь на этом языке можно описать не только макрокосм, но и микрокосм — мир внутриатомных явлений: и это знаменует открытие совершенно новой систематической интерпретации.

Один из лучших и поразительнейших примеров этой медленной трансформации языка науки — это история химии. На «высоты науки» химия взошла гораздо позднее, чем физика. Отнюдь не недостаток новых эмпирических данных в течение многих столетий препятствовал прогрессу химической мысли и удерживал ее в рамках донаучных представлений. История алхимии показывает: алхимики были наделены поразительным талантом наблюдения. Они накопили массу ценных фактов, сырье, без которого и химия вряд ли могла бы развиваться. Но форма, в которой этот сырой исходный материал был представлен, была ему неадекватна. Когда алхимик начинал описывать свои наблюдения, он не располагал никаким инструментом упорядочения, кроме полумифического языка, полного темных и невразумительных терминов. Природа стала скопищем темных качеств, понятным лишь посвященным, лишь знатокам. Лишь в конце XVIIIв., в эпоху Лавуазье, химия научилась разговаривать на количественном языке. Начинаяс этого момента наблюдается быстрый прогресс. Новые пути в химии обнаружились с открытием законов равных или множественных пропорций Дальтона. Твердо упрочилась власть числа. Список химических элементов был всего лишь эмпирическим списком — в нем не усматривалось никаких строгих зависимостей или порядка. Но и это последнее препятствие было преодолено с открытием периодической системы элементов. Каждый элемент получил свое место в согласованной системе, и это место было обозначено атомным числом. «Подлинное атомное число есть просто номер, который обозначает положение элемента в естественной системе, когда порядок каждого элемента определяется при учете его химических связей». Основываясь на периодической системе, можно предсказывать существование неизвестных элементов и последовательно их открывать. Так химия обрела новую математическую и дедуктивную структуру.

В истории философии довольно поздно появилось представление о том, что математика — это универсальный символический язык, что он не описывает вещи, а выражает отношения между ними. Основанная на таких представленияхматематическая теория появилась не ранее XVII в. Первым великим современным мыслителем, ясно осознавшим подлинный характер математического символизма и выявившим его плодотворность и познавательные следствия, был Лейбниц. И с этой точки зрения история математики не отличается от истории всех других символических форм. Даже в математике открыть новое измерение символической мысли было чрезвычайно трудно. Такое мышление существовало в математике задолго до того, как была осознана его особая логика. Подобно символам в языке или в искусстве, математические символы с самого начала окружены особого рода магической атмосферой. Они вызывают религиозный трепет и благоговение. Позднее эта религиозная и мистическая вера постепенно превращается в некий род метафизической веры. В философии Платона число уже не окутано тайной. Наоборот, оно рассматривается здесь как подлинный центр интеллектуального мира — оно становится ключом ко всему истинному и умопостигаемому. Когда поздний Платон создал теорию мира идей, он попытался описать его в терминах чистого числа. Математика для него — область, опосредующая отношения чувственного и сверхчувственного миров. Кроме того, он ведь был пифагорейцем и как истый пифагореец был убежден, что власть числа распространяется на весь видимый мир. Однако метафизическая сущность числа не может быть раскрыта ни в каких видимых явлениях. Явления причастны этой сущности, но никак не могут адекватно выразить ее — это недоступно. Ошибочно рассматривать те воплощенные числа, которые мы находим в естественных явлениях, в движениях небесных тел, как подлинно математические числа. То, что мы видим здесь, — всего лишь «признаки» чисто идеальных чисел, тех, что могут быть усвоены рассудком и умом, а не зрением.

Современная эпистемология более не придерживаетсяПлатоновой теории числа, она рассматривает математику не как изучение вещей, видимых или невидимых, а как исследование отношений и типов отношений. Если и говорят об объективности числа, то уж никак не в смысле отдельной, особой метафизической или физической сущности. Этим хотят всего лишь сказать, что число — это инструмент исследования природы и реальности. Типичные примеры этого непрерывного интеллектуального процесса дает история науки. Математическая мысль часто идет, кажется, впереди физического исследования. Наиважнейшие математические теории возникают вовсе не из непосредственных практических или технических нужд. Это общие схемы мысли до какого бы то ни было конкретного применения. При создании своей общей теории относительности Эйнштейн обратился к геометрии Римана, которая была создана задолго до этого и которую сам Риман считал лишь простой логической возможностью, хотя и был уверен в том, что такие возможности нужны нам для того, чтобы подготовиться к описанию действительных фактов. Как и в том, что нужна полная свобода для построения различных форм математической символики, чтобы обеспечить физическое познание всеми необходимыми инструментами. Природа неисчерпаема — она ставит перед нами всегда новые и неожиданные вопросы. Мы не можем предвосхитить факты, но в состоянии дать им мысленную интерпретацию благодаря силе символического познания.

Все, что только и может сделать человек, — это создать — в языке, в религии, в искусстве, в науке — свой собственный универсум — символическую вселенную, которая дает ему возможность понимать и истолковывать, связывать и организовывать, синтезировать и обобщать свой человеческий опыт.