ВОПРОСЫДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Векторы. Свойства вектора. Операции над векторами.
2. Линейное пространство. Свойства линейного пространства. Подпространство линейного пространства.
3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Свойства линейно зависимых векторов. Линейная оболочка векторов.
4. Размерность линейного пространства. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по системе векторов. Преобразование координат при замене базиса.
5. Евклидовы пространства. Свойства длины вектора. Неравенство Коши- Буняковского.
6. Ортогональность векторов. Ортогональные системы векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
7. Ортонормированная система векторов. Построение ортонормиро-ванного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Ортогональные матрицы.
8. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами. Транспонирование матриц. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.
9. Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителей. Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения матриц.
10. Обратная матрица. Обратная матрица. Алгоритм отыскания обратной матрицы. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями.
11. Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц.
12. Понятие системы линейных уравнений. Общая теория решения системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений.
13. Методы решения системы уравнений: метод обратной матриц, формулы Крамера, метод Гаусса. Векторная запись системы уравнений.
14. Системы однородных линейных уравнений. Решение системы однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Собственные значения и собственные векторы.
15. Базисные (главные) и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений.
16. Определение и примеры линейных операторов. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.
17. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
18. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями.
19. Линейный функционал. Формула линейного функционала.
20. Матрица билинейной формы. Матрица симметричной билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса.
21. Определение квадратичной формы. Преобразование квадратичных форм. Квадратичные формы канонического вида. Единственность симметричной билинейной формы, порождающей квадратичную форму.
22. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм. Билинейные формы.
23. Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Матрицы сопряженных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
24. Преобразование координат точки при замене системы координат. Линейные отображения. Линейные операторы, связанные с линейными отображениями. Геометрические свойства линейных отображений. Аффинные и изометрические отображения.
25. Прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.
26. Общее уравнение прямой на плоскости. Различные способы задания прямой на плоскости.
27. Параметрическое и каноническое уравнения прямой.
28. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
29. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат.
30. Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Частные случаи расположения плоскостей. Различные способы задания плоскости.
31. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
32. Уравнение прямой в пространстве. Различные способы задания прямой в пространстве. Угол между плоскостям. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
33. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация операций над комплексными числами.
34. Векторное произведение.