Глава 6. Кривые второго порядка
| Уравнение | Чертеж | Фокусы | Эксцентриситет | Директриса | Асимптота |
1. Эллипс
 - центр
 - полуоси
| 
| Если  
| 
| 
| – |
Если  
| 
| 
| – | ||
2. Гипербола
- центр
 - действительная полуось,
 - мнимая
| 
| 
|
|
| 
|
3. Гипербола
или
- центр
- мнимая полуось,
- действительная
| 
|
|
|
| 
|
4. Парабола
- вершина
 - расстояние между фокусом и директрисой
| 
| 
| - | 
| - |
5. Парабола
| 
| 
| - | 
| - |
6. Парабола
| 
| 
| - | 
| - |
7. Парабола
| 
| 
| - | 
| - |
8. Окружность
- центр
 - радиус
| 
| - | 
| - | - |
9. Две пересекающиеся прямые
| 
| - | - | - | - |
10. Уравнение
 определяет точку 
| - | - | - | - | - |
Задача.
Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.  2.  3.  4. 
Варианты ответов: А) эллипс В) гипербола С) окружность D) парабола
Решение.
Проанализируем каждое уравнение
1). Уравнение можно записать в виде  . Это уравнение окружности.
2). Уравнение содержит переменную  во второй степени, а переменную  - в первой. Это уравнение параболы.
3). Поделим уравнение на 4. Тогда  . Обе переменные в квадрате. В левой части – сумма; в правой – единица. Это уравнение эллипса.
4). . Обе переменные во второй степени. В левой части – разность; в правой – единица. Это уравнение гиперболы.
Ответ:    
Задача.
Установите соответствие между кривой второго порядка и ее уравнением.
1. Парабола 2. Эллипс 3. Гипербола
Варианты ответов: А)  В)  С)  D)  Е) 
Решение.
1). Парабола. В уравнении одна переменная должна быть в первой степени, другая – во второй. Это уравнение (D).
2). Эллипс. Обе переменные должны быть во второй степени. В левой части – сумма; в правой – единица. Это уравнение (Е).
3). Гипербола. Обе переменные должны быть во второй степени. В левой части – разность; в правой – единица. Это уравнение (В)
Ответ:   
Задача.
Если  - центр окружности, которая проходит через точку  , то уравнение этой окружности имеет вид…
Варианты ответов: 1)  2) 
3)  4) 
Решение.
Так как - центр, то уравнение может быть №3 или №4. Найдем радиус – это расстояние АС.
 . Итак,  , тогда уравнение №3.
Ответ: №3.
Задача.
 Если уравнение гиперболы имеет вид  , то длина ее действительной полуоси равна…
Варианты ответов: 1) 3 2) 16 3) 9 4) 4
Решение.
Действительная полуось берется из положительного слагаемого  . Тогда  ,  .
Ответ: №1.
Задача.
Если уравнение окружности имеет вид  , то его центром С и радиусом r являются…
Варианты ответов: 1)  ,  2) ,  3)  , 4) ,
Решение.
Уравнение можно записать в виде  . Тогда центр , радиус .
Ответ: №2.
Задача.
Радиус окружности, заданной уравнением  , равен …
Варианты ответов: 1) 3 2) -1 3) 4 4) 1
Решение.
 ;  . Тогда центр  , радиус  .
Ответ: №4.
|
|
|
Глава 7. Поверхности второго порядка
| Уравнение | Чертеж | Задачи |
1. Эллипсоид
| 
| Задача.
Установите соответствие между изображением поверхности и ее каноническим уравнением.
1. 
2.  3. 
Варианты ответов: А) 
В)  С)  D) 
Решение.
Сравнивая уравнение и изображение, определяем соответствие
Ответ:  
|
2. Однополостный гиперболоид
| 
| |
3. Двуполостный гиперболоид
 или
| 
| |
4. Эллиптический параболоид
| 
| |
5. Цилиндр
| 
| |
6. Сфера
| 
|
Глава 8. Дифференциальная геометрия
| §1 Уравнение касательной и нормали к кривой | ||||
Для кривой  в точке 
| Для кривой  в точке
| Для кривой 
| Для кривой 
| |
| 1. Уравнение касательной | 
| 
| 
| - |
| 2. Уравнение нормали | 
| 
| 
| - |
|
|
| §2 Кривизна кривой | ||
| 3. Кривизна для кривой
| 
| Задача.
Кривизна линии  в точке  равна…
Варианты ответов: 1)  2)  3)  4) 
Решение.
Воспользуемся предложенной формулой  ;  ;  .
Подставим в полученные производные координаты точки  , тогда  , 
Ответ: №3.
|
4. Кривизна для кривой 
| 
| |
5. Кривизна для кривой 
| 
| |
| 6. Кривизна для кривой
| 
| |
| 7. Радиус кривизны | Радиус кривизны вычисляется по формуле  , где k – кривизна
| Представление о знаке кривизны дает рисунок
|
| §3 Поверхность | |||
| 8. Уравнение касательной плоскости | Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке 
|
| Задача.
Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке  имеет вид…
Варианты ответов:
1)  2) 
3)  4) 
Решение.
Найдем частные производные
 ;  ; 
Подставим координаты точки
 ;  ; 
Уравнение касательной плоскости примет вид
 
Ответ: №2.
|
Уравнение касательной плоскостик поверхности  в точке
|
| ||
| 9. Уравнение нормали | Уравнение нормалиплоскости к поверхности  в точке
| 
| |
Уравнение нормали к поверхности в точке 
| 
|