Сложная функция. Обратная функция.
Сложная функция – это композиция функций.
Что такое сложная функция? Как определить сложную функцию?
Сложная функция это когда одна функция находится внутри другой функции, т.е. аргументом функции является другая функция.
Пример сложной функции:
y = (x + 2)5
выражение x + 2 – это функция. Но эта функция в нашем примере возводится в 5-ю степень, т.е. над функцией есть ещё одна функция.
Чтоб увидеть вот эту внешнюю функцию обозначим x + 2 через t, получаем: y = t5
вот так выглядит внешняя функция.
Но t сама является функцией, т.е. у нас функция оказалась под знаком другой функции.
Сложную функцию обычно представляют так (формула сложной функции): y = g(f(x))
здесь икс находится под знаком функции f, а функция f находится под знаком функции g. Одна функция оказалась внутри другой, стала аргументом другой функции, это и есть сложная функция.
Итак, если аргументом функции является другая функция, то мы имеем дело со сложной функцией.
Что такое сложная функция?
Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот "сложнейший" процесс представлен на схеме ниже:
Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а x, при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции.
Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса:
В результате получим, ясное дело, cos x. Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» - запаковываем, например, в кубическую функцию.
Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».
Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» - «упаковка в упаковке».
В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре:
Теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс. Получим: x →7 x →tg(7 x)
А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус, а потом в котангенс: x →sin x →ctg(sin x)
А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» 4 раза:
«Распаковка» сложной функции
Посмотри на предыдущую функцию еще раз.
Сначала икс «упаковали» в 4-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию 2, и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.
То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.
Например, вот такая функция: y=tg(log2x) Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:
x→log2x→tg(log2x)
Еще пример: y=cos(x3). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: x→x3→cos(x3).
Последний пример (с важной информацией в нем): y=sin(2x+5). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: x→2x+5→sin(2x+5). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.
В простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных - два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) - тоже простая функция.