Соотношения между физическими величинами.

Тема № 10. Геометрическая оптика.

Общие понятия и определения.

1) Основное понятие геометрической оптики – луч света. Природа света в этом разделе оптики не обсуждается. В однородной среде луч света распространяется прямолинейно. В вакууме скорость света равна 3·10⁸ м/c.

 

2) В неоднородной среде справедлив принцип Ферма – луч, испущенный из точки А и попавший в точку В, идет по оптически кратчайшей траектории, то есть по траектории, обеспечивающей минимальное время прохождения света между точками А и В.

 

3) Если не рассматривать сложные оптические системы, то оптически кратчайший путь между двумя точками, как правило, только один. Отсюда следует принцип обратимости хода световых лучей: если луч, испущенный из точки А, попал в точку В, то луч, испущенный в обратном направлении из точки В, обязан попасть в точку А, обязательно пройдя по той же самой траектории.

Раздел 10.1. Отражение и преломление света.

Понятия и определения, соотношения между физическими величинами.

1) В любой среде скорость света меньше, чем в вакууме. Отношение скоростей света в вакууме и в данной среде называется показателем преломления этой среды относительно вакуума, или абсолютным показателем преломления: . Показатель преломления любой среды всегда больше или равен 1, причем точно он равен 1 только для вакуума (а для воздуха слабо отличается от 1 и его обычно считают равным 1).

 

2) Закон отражения света: луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к отражающей поверхности, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости по разные стороны нормали, причем угол падения равен углу отражения.

3) Закон преломления света: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости по разные стороны нормали, причем .

 

4) Изображение в плоском зеркале является мнимым, расположено симметрично предмету относительно плоскости зеркала и имеет такие же размеры, как и предмет.

 

5) Если луч падает из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим показателем преломления, существует такой угол α₀, при котором угол преломления составит 90⁰, то есть преломленный луч пойдет вдоль границы раздела двух сред. Если угол падения превысит α₀, то луч вообще не пройдет во вторую среду, полностью отразившись от границы раздела. Это явление называется полным внутренним отражением.

 

Примеры решения задач.

1) На каком максимальном расстоянии х от зеркала, наклоненного к вертикали под углом α, человек ростом h сумеет увидеть хотя бы часть своего изображения?

 

Решение. Легче всего человеку будет увидеть свои глаза (расстоянием между глазами и макушкой пренебрегаем). Луч, отраженный глазами, должен попасть обратно в глаза, пройдя по прежней траектории, то есть он должен падать на зеркало под прямым углом (см. рис.). Значит, угол между этим лучом и горизонталью тоже равен α, поэтому , .

 

Дополнительно. На вертикальной стене висит плоское зеркало, перед ним стоит человек ростом h. Верхний край зеркала находится вровень с глазами человека. При какой минимальной высоте зеркала человек сможет увидеть в нем себя целиком?

2) На полупрозрачной границе раздела двух сред с показателями преломления n₁ и n₂ соответственно луч света частично отражается, частично преломляется, причем отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны. Под каким углом падал луч на границу раздела сред?

 

Решение. Из рисунка очевидно, что , отсюда угол преломления . По закону преломления света .

Отсюда , , , .

Дополнительно. Докажите, что если луч падает под некоторым углом на поверхность плоскопараллельной стеклянной пластинки, находящейся в воздухе, то он выйдет из нее под тем же углом, под которым падает.

3) На дне водоема глубиной h находится точечный источник света. Какого радиуса круглый плот надо разместить над источником (центр плота на одной вертикали с источником), чтобы ни один луч от источника не вышел в воздух? Показатель преломления воды равен n.

 

Решение. Ни один луч от источника не выйдет в воздух, если лучи, пытающиеся выйти около краев плота, испытают полное внутреннее отражение (см. рис.). , , откуда .

Дополнительно. Пусть источник расположен не под плотом, а над ним, в воздухе. Какого максимального радиуса тень от плота на дне можно получить? На какой высоте при этом должен быть расположен источник?

 

4) На дне водоема лежит плоское зеркало. Луч падает на поверхность воды под углом α. На каком расстоянии х от точки падения луч выйдет обратно в воздух? Показатель преломления воды равен n.

Решение. , откуда находим и . .

 

Дополнительно. Докажите, что кажущаяся глубина водоема в n раз меньше его истинной глубины. Наблюдатель смотрит вертикально сверху, поэтому углы падения лучей на поверхность воды считаем малыми, а для малых углов (в радианах) .

 

Раздел 10.2. Тонкие линзы.

Понятия и определения.

 

1) Линзой мы будем называть прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими, или одной сферической и одной плоской поверхностями. Ось симметрии линзы называется главной оптической осью (ГОО).

 

2) Классификация линз по внешнему виду:

 

3) Линза называется тонкой, если ее “толщина”, т.е. максимальный размер вдоль ГОО, гораздо меньше любого из радиусов кривизны ее сферических поверхностей.

 

4) Тонкая собирающая линза.

Условное обозначение приведено на рисунке. Основное свойство: параллельный пучок лучей, падающих на линзу вдоль ГОО, после линзы собирается в одной точке, называемой фокусом линзы.

Фокальной плоскостью линзы называется плоскость, проходящая через фокус линзы перпендикулярно ГОО.

Оптическим центром линзы называется точка пересечения линзы с ГОО.

Если пучок лучей падает не параллельно ГОО, то он также собирается после линзы в одной точке, задаваемой пересечением фокальной плоскости и луча, проходящего через оптический центр линзы.

 

5) Тонкая рассеивающая линза.

Условное обозначение приведено на рисунке. Основное свойство: параллельный пучок лучей, падающих на линзу вдоль ГОО, после линзы рассеивается таким образом, что продолжения расходящихся лучей пересекаются в одной точке, называемой (мнимым) фокусом линзы. Если пучок лучей падает не параллельно ГОО, то продолжения расходящихся лучей тоже пересекаются в одной точке, задаваемой пересечением фокальной плоскости и луча, проходящего через оптический центр линзы.

 

4) Характерные лучи для тонкой собирающей линзы: луч, который до линзы шёл параллельно ГОО, после линзы пройдет через фокус. Луч, который идет через оптический центр, не преломляется. Луч, который до линзы прошел через фокус, после линзы пойдет параллельно ГОО.

 

5) Характерные лучи для тонкой рассеивающей линзы: луч, который до линзы шёл параллельно ГОО, после линзы отклонится так, что его продолжение пройдет через фокус. Луч, который идет через оптический центр, не преломляется. Луч, продолжение которого проходило через фокус, после линзы пойдет параллельно ГОО.

 

6) Действительное изображение (на пересечении лучей, прошедших сквозь оптическую систему) в линзе всегда перевернутое, а мнимое изображение (на пересечении продолжений лучей, расходящихся после оптической системы) – всегда прямое.

 

 

Соотношения между физическими величинами.

 

1) Фокусное расстояние тонкой линзы: , где R₁ и R₂ – радиусы кривизны двух поверхностей линзы (если поверхность выпуклая, то соответствующий R берется положительным, если вогнутая – отрицательным, если плоская, то ). Отсюда следует, что если линза, например, двояковыпуклая, то в среде с показателем преломления больше, чем у материала линзы, она будет рассеивающей).

 

2) Формула тонкой линзы: , где:

F – фокусное расстояние линзы. Считается положительным, если линза собирающая, и отрицательным, если линза рассеивающая.

f – расстояние от изображения до линзы. Считается положительным, если изображение действительное, и отрицательным, если изображение мнимое.

d – расстояние от предмета до линзы. В большинстве школьных задач является положительной величиной. Отрицательным d бывает в случае так называемого мнимого источника: когда на линзу падает сходящийся пучок лучей, точка пересечения которого лежит за линзой (см. рис.). Знаки F, f и d обычно выносятся перед соответствующими слагаемыми, а сами расстояния считаются положительными.

3) Увеличение предмета в линзе: отношение размера изображения к размеру предмета: .

 

4) Оптическая сила линзы – величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах: . Единица измерения оптической силы в системе СИ – диоптрия (дптр). 1 дптр = 1/м.

 

5) Если предмет движется с постоянной скоростью перпендикулярно главной оптической оси линзы, то его изображение также движется с постоянной скоростью и перпендикулярно главной оптической оси, причем поперечное увеличение .

6) Построение изображения в тонкой собирающей линзе. Рассматриваем только случай действительного источника (d > 0).

а) Если предмет находится ближе к линзе, чем её фокус

(d < F), изображение мнимое увеличенное (рис.1).

б) Если предмет находится точно в фокусе или в фокальной плоскости собирающей линзы (d = F), то изображения не будет.

в) Если предмет находится между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы

(F < d < 2F), изображение действительное увеличенное (рис.2).

г) Если предмет находится точно в двойном фокусе собирающей линзы (d = 2F), то изображение будет действительным, в натуральную величину (Г = 1).

д) Если предмет находится дальше двойного фокуса собирающей линзы, то изображение действительное уменьшенное.

7) Построение изображения в тонкой рассеивающей линзе. Рассматриваем только случай действительного источника (d > 0). В этом случае изображение всегда получается мнимое уменьшенное (рис.3).

Примеры решения задач.

 

1) Предмет находится в фокусе тонкой линзы и дает изображение. Найти увеличение предмета.

Решение. Поскольку предмет, находящийся в фокусе собирающей линзы, изображения не дает, значит, линза рассеивающая. Формула линзы: . С учетом

d = F получаем , .

Дополнительно. Собирающая линза дает мнимое изображение предмета с увеличением Г= 2. С каким увеличением будет изображаться предмет, если, не меняя его расположения, заменить собирающую линзу на рассеивающую с тем же по модулю фокусным расстоянием?

 

2) Линза, модуль фокусного расстояния которой F = 5 см, дает мнимое изображение предмета с увеличением Г= 5 Чему равно расстояние между предметом и изображением?

Решение. Линза собирающая – ведь в рассеивающей линзе изображение всегда уменьшенное. Формула линзы: , . Решая эту систему, получаем: f = 20 см, d = 4 см, искомое расстояние f – d = 16 см.

Дополнительно. Решите ту же задачу, приняв увеличение линзы равным 1/5.

 

3) Две линзы, собирающая и рассеивающая, дают изображение предмета, находящегося на одинаковом расстоянии d от них, с одинаковым увеличением. Найти разность модулей оптических сил этих линз.

Решение. Равенство увеличений при одинаковых d позволяет утверждать, что f тоже одинаковы. Запишем дважды формулу линзы:

для собирающей линзы: , для рассеивающей .

Складывая эти выражения, получим: .

 

Дополнительно. Две линзы, собирающая и рассеивающая, с одинаковыми по модулю фокусными расстояниями, дают изображение предмета, находящегося на одинаковом расстоянии d от них, с увеличениями, подчиняющимися соотношению . Найти модуль фокусного расстояния линз.

 

4) Рассеивающая линза преломляет падающий на неё луч, как показано на рисунке. Величины a и b заданы. Найти модуль фокусного расстояния линзы.

Решение. Поскольку продолжение падающего на линзу луча пересекает главную оптическую ось за линзой, это случай мнимого источника. Изображение тоже мнимое – ведь лучи после линзы расходятся, а пересекаются только их продолжения. Формула линзы: , где d = a и f = b. Отсюда .

Дополнительно. Приведите пример, когда: источник мнимый, изображение действительное. Подумайте, может ли изображение мнимого источника в рассеивающей линзе быть увеличенным, и если может, то при каких условиях.

 

5) Линза дает изображение предмета на экране, удаленном от предмета на расстояние L= 4.5F. Предмет движется перпендикулярно главной оптической оси линзы со скоростью V. Найдите скорость изображения U.

Решение. Изображение на экране может быть только действительным. Значит,

L = d + f, формула линзы . Решая эту систему, получаем два ответа:

d = 1.5F, f = 3F, то есть увеличение Г=2, и d = 3F, f = 1.5F, увеличение Г=0.5. Это означает, что возможных скоростей тоже две: U = 2V в первом случае и U = V/2 во втором.

Дополнительно. Попробуйте доказать, что если предмет движется вдоль главной оптической оси линзы, то . Для этого надо выписать f(d) и взять производную по времени. Учитывайте правила дифференцирования сложных функций и тот факт, что производные по времени от d и f – это с точностью до знака скорости предмета и изображения соответственно.

 

6) Доказать, что если луч проходит через двойной фокус собирающей линзы, то после преломления в линзе он будет образовывать с ГОО такой же угол, что и до преломления.

Решение. Пусть предмет находится в двойном фокусе, тогда его действительное изображение должно находиться в двойном фокусе с другой стороны линзы (см. рис.). Два прямоугольных треугольника, которые луч, линза и ГОО образуют по разные стороны от линзы, равны по двум катетам, значит, и все углы у них равны.

Дополнительно. Найти минимально возможное расстояние между предметом и его действительным изображением в собирающей линзе.