ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ

Дифференцированные уравнения

ВВЕДЕНИЕ

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ

 

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:

= (1)

При такой записи коэффициенты k,k₁,...,k_n называют коэффициентами передачи, а T₁,...,T_n - постоянными времени данного звена.

Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.

Размерности коэффициентов передачи определяются как

 

размерность k = размерность y(t): размерность g(t)

 

размерность k1 = размерность y(t): размерность g(t) (?)

 

Постоянными времени T₁,...,T_n имеют размерность времени.

Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):

=

 

= (2)

 

2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА

 

Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):

y(t)= =

= =

 

=W₁(s)+W₂(s)+...+W_n(s)

Здесь W₁(s),W₂(s),...,W_n(s) - передаточные функции.

При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.

 

2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА

 

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.

Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:

w(t)=

 

2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

 

Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw.

Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование

W(j)= .

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

W(jw)=U(w)+jV(w)

где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части.

W(jw)=A(w) ,

где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,j(w) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

АЧХ строят для всео диапазона частот -Ґ<w

Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:

j(w)=argW(jw)

 

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ

 

4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ

 

Позиционные звенья - это такие звенья, в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k , где N(s), L(s) - многочлены.

 

4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ (БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ) ЗВЕНО

 

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a_oy(t)=b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a_o=2

b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a_o:

y(t)= g(t)

y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s)

W(s)=k (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)= =kd(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=2Ч1(t)

w(t)=2Чd(t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=k

W(jw)=k (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)

U(w)=k

V(w)=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A(w)=2

j(w)=0

L(w)=20lg2

U(w)=2

V(w)=0

 

Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев, рассмотренных ниже, если можно пренебречь влиянием динамических процессов.

 

4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

 

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a_oy(t)=b_og(t-t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a_o=2

b_o=4

t=0,1с

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a_o:

y(t)= g(t-t)

y(t)=kg(t-t) (2),

где k= -коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t-t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t-t)=G(s)e^-ts

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s) e^-ts

W(s)= ke^-ts (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда

h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)= =kd(t-t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=2Ч1(t-t)

w(t)=2Чd(t-t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на t=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=k e^-ts

W(jw)=k e^-jwt =k(costw-jsintw) (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)

U(w)=k costw

V(w)=-ksintw

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)= tw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A(w)=2

j(w)=0,1w

L(w)=20lg2

U(w)=2cos0,1w

V(w)=-2sin0,1w

 

Вывод:

 

4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

 

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24

a_o=2

b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)= g(t)

 

T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T₁= -постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T₁ p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T₁ sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) = =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1

W(s)= =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e Ч1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T₁ =0.62

h(t)=2 Ч1(t)

w(t)=3.2e Ч1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину .

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)= (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)= = -j

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgk - arctg

j(w)=-arctgT₁ (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T₁ =0.62

A(w)=

j(w)=arctg0.62w

L(w)=20lg

U(w)=

V(w)=

 

4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

1-го ПОРЯДКА

 

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ - a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24

a_o=2

b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

-y(t)= g(t)

 

T -y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T= -постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T p-1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T sY(s)-Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) = =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1

W(s)= =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e Ч1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T =0.62

h(t)=2 Ч1(t)

w(t)=3.2e Ч1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину .

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)= (7)

W(jw)= = j =U(w)+jV(w)

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgk - arctg

j(w)=-arctg(-Tw) (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T =0.62

A(w)=

j(w)=-arctg(-0.62w)

L(w)=20lg

U(w)=

V(w)=

 

4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

 

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂ +a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=50,4

a_o=120

b_o=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+ +y(t)= g(t)

 

+T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T₁= ,T₂²= -постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T₁>2T₂), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,42

2T₂=0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.

 

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

( p²+T₁ p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y(s)+T₁ sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) = = , где

T_3,4=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t) =

=k Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1= =

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= =

= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

 

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части:

W(jw) = =

 

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)= =..............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=................

j(w)=............... (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=...................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

 

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

 

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂ +a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=0,504

a_o=12

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+ +y(t)= g(t)

 

+T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T₁= ,T₂²= -постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T₁<2T₂), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,042

2T₂=0,14

0,042

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T₂=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1).

 

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

( p²+2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y(s)+2xT sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

 

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)= =

=

 

Заменим в этом выражении , .Тогда

H(s)= =

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1= = =

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

 

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части:

W(jw)=

 

U(w)=

V(w)

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk - arg(2xTjw - T²w²+1)= - arctg

j(w)= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

 

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

 

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂ - a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=0,504

a_o=12

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

- +y(t)= g(t)

 

-T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T₁= ,T₂²= -постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T₁<2T₂), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,042

2T₂=0,14

0,042

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T₂=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1).

 

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

( p² - 2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y(s) - 2xT sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

 

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)= =

=

 

Заменим в этом выражении , .Тогда

H(s)= =

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1= = =

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

 

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части:

W(jw)=

 

U(w)=

V(w)

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk - arg(1 - 2xTjw - T²w²)= - arctg

j(w)= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

 

4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО

 

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,0588

a_o=12

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)= g(t)

 

+ y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T²= -постоянная времени.

Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x=0.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T²p²+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T²s²Y(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

 

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Заменим .Тогда

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t)