II замечательный предел.

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N₀, n>N₀, |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn=¥ (n®¥).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>"M $N₁, n>N₁ |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $ N₂, n>N₂ |Yn|>M

N₀=max(N₁, N₂) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M²>M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N₀, n>N₀ |Xn|>M =>n>N₀.

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+a_n; lim Yn=b => Yn=b+b_n;

Xn ± Yn = (a + a_n) ± (b + b_n) = (a ± b) + (a _n± b_n) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+a_n)/(b+b_n) – a/b = (ab+a_nb–ab–ab_n)/b(b+b_n) =(ba_n-ab_n)/b(b+b_n)=g_n => Xn/Yn=a/b+g_n => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x₀, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x₀|<d, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или "x выпол x₀-d<x<x+d=> A-E<f(x)<A+E.

Lim _x®x0 f(x)=A

Ф-ия y=f(x)наз-ся бесконечно большой при x®x₀ если для "М>0 сколь угодно большого $ d>0, что "x |x-x₀|<d будет выполняться нер-во |f(x)|>M, "x x₀-d<x<x₀+d, -M>f(x)>M.

Lim f(x)=¥ (x®x₀).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x®¥, если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|<E.

I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

S_треуг МОА< S_сект МОА<S_треуг СОА.

S_треугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

S_сектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

S_треугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}

1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. lim_x®0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;

2.lim_x®0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=

=lim_t®0t/sint=1;

3. lim_x®0 (sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=

=a/b lim_ax®0(sin ax)/ax=a/b.

II замечательный предел.

lim_n®¥(1+1/n)ⁿ=?

Бином Ньютона: (a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+(n(n-1)a^n-2b²)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)a^n-4b⁴)/4!+...+bⁿ.

(1+1/n)ⁿ=1+n1/n+n(n-1)/2!n²+n(n-1)(n-2)/3!n³+...+1/nⁿ= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nⁿ={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/2²(1-1/n)(1-2/n)+1/2³(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2ⁿ < 2+0.5+1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ =2+0.5(1-1/2ⁿ)/(1-0.5)=2+1-1/2ⁿ=3-1/2ⁿ <3.

2£(1+1/n)ⁿ<3 => $ lim_n®¥(1+1/n)ⁿ=e.

Следствия:

1.lim_x®+¥(1+1/x)^x=e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)^x³(1/x+1)^x³(1+1/(n+1))^x

(1/n+1)ⁿ⁺¹³(1+1/x)^x³(1+1/(n+1))ⁿ lim_n®¥(1+1/n)ⁿ(1+1/n)=e*1=e,· lim_n®¥(1+1/(n+1))ⁿ⁺¹*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $lim_x®+¥(1+1/x)^x=e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х₀, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х₀ равный значению фун f(x₀). limf(x)=f(x₀)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $lim_x®x0-0f(x) $lim_x®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. lim_x®x0-f(x)=lim_x®x0+f(x);

4. lim_x®x0±f(x)=f(x₀).

Если Х₀ т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х₀ – 1 род

Если Х₀ – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х₀ т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х₀ – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f₁(x) и f₂(x) непрерывны в точке х₀, то сумма (разность) y(х)=f₁(x)±f₂(x), произведение у(х)=f₁(x)*f₂(x), а также отношение этих фун у(х)=f₁(x)/f₂(x), есть непрерывная фун в точке х₀.

Док-во (суммы): По определению получ lim_х®х0f₁(x)=f₁(x₀) и lim_х®х0f₂(x)=f₂(x₀) на основании св-ва1 можем написать: lim_х®х0у(х)=lim_х®х0[f₁(x)+f₂(x) ]=

=lim_х®х0f₁(x)+lim_х®х0f₂(x)=f₁(x₀)+f₂(x₀)=у(х₀). Итак сумма есть непрерывная фун.·

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х₀, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z₀=j(х₀), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х₀.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).