Нормальное распределение

Основные типы распределения, используемые в лесном хозяйстве

Оглавление

Основные типы распределения, используемые в лесном хозяйстве. 1

1. Алгоритм определения закона распределения эмпирического ряда. 1

2. Нормальное распределение. 2

3. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение. 5

4. Распределение Вейбулла. 6

Алгоритм определения закона распределения эмпирического ряда

Случайная величина может быть задана в виде ряда распределения (численно или графически). На Рис.1 представлено распределение случайной величины в виде полигона частот. По данному графику наблюдаем определенные закономерности в распределении вариант: чем ближе значение вариант к , тем больше их частота, и наоборот, чем дальше, тем реже они встречаются.

Рис. 1. Полигон частот

На практике теория распределения применяется в следующих направлениях:

· установление закона распределения исследуемой величины по выборке;

· получение аналитического вида распределения.

На Рис.2. представлен алгоритм установления закона распределения случайной величины.

Рис.2. Схема определения закона распределения

Существует более двух десятков различных законов распределения, в практике лесного хозяйства используют в основном следующие: нормальное, логарифмически нормальное, Пуассона и др.

Нормальное распределение

Тип непрерывного распределения, открыт А. Муавром в 1733 г (Англия), затем переоткрыт К. Гауссом (1809), П. Лапласом (1812), поэтому называется распределением Лапласа-Гаусса.

Распределение случайной величины считается нормальным, если коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю. Это строгое условие, которое в природе наблюдается редко:

(1)

Поэтому используют менее строгое условие, когда коэффициенты асимметрии и эксцесса не превышают своих двойных ошибок:

(2)

Плотность нормального распределения ƒ(x) имеет вид:

ƒ(x)= exp ; (3)

Функция распределения Ф(x) (функция накопленной вероятности)

Ф(x)= dx, (4)

где – среднее значение,

– стандартное отклонение,

e – константа Эйлера, основание натуральных логарифмов, равное 2,718.

На графике (Рис.3) представлен график плотности нормального распределения ƒ(х) – это симметричная колоколообразная кривая. Форма ее зависит от величины , который является параметром масштаба, положение зависит от второго параметра – . Т.е. нормальное распределение является двухпараметрическим распределением, параметрами которого являются: и . Кривая имеет:

· один максимум ,

· две точки перегиба на расстоянии ±σ от .

Рис.3. Кривая нормального распределения с различными параметрами

Вычисление плотности распределенияпо формуле (1) достаточно трудоемко. Поэтому составлены таблицы значений ƒ(x) и F(x) для стандартного распределения, где принято, что =0 и σ =1. Также произведена замена переменных:

t= (5)

тогда плотность и функция нормированного нормального распределения имеют вид:

ƒ(t)= exp(- ) (6);

Ф(t)= (- )dt (7).

В Прилож. 3 приведены таблицы стандартного нормального распределения.

Свойства нормального распределения

1. Все варианты лежат в интервале , иными словами с вероятностью 1 (100%) ожидается появление новой варианты в пределах .

2. Слева и справа от средней арифметической лежит по 50% вариант, т.е., с вероятностью 0,5 (50%) можно предсказать появление новой варианты слева или справа от средней.

3. В интервале от ±1 лежат 68,3% всех вариант, отсюда с вероятностью 0,683 (68,3%) можно прогнозировать появление новой варианты на расстоянии ±1 от средней – правило одной сигмы) (Рис.4, а);

4. Между ±1,96 лежат 95% вариант. Это позволяет с 95%-ной вероятностью предположить, что новая варианта окажется в интервале ±1,96 (округленно ±2 – правило двух сигм) (Рис.4, б);

5. С вероятностью 0,99 (99%) значение новой варианты будет заключено в пределах ±2,58 (правило трех сигм).) и с вероятностью 0,999 – в интервале ±3,3 (Рис.4, в).

	а
	б
	в

Рис. 4. Свойства кривой нормального распределения

Сравнение теоретических частот с эмпирическими с целью установить, отличается ли данное распределение от нормального, производят несколькими методами, например с использованием критерия Колмогорова-Смирнова, χ²-распределения.