Материал одной из экскурсий музея математики.
Зал №1 «Галерея математиков»
Стены зала украшены портретами знаменитых математиков, высказываниями о математике. Во время выступления экскурсовода демонстрируется презентация, иллюстрирующая рассказ, приводятся интересные запоминающиеся факты из жизни. При этом ученики оценивают свой культурный и интеллектуальный багаж в сравнении с тем, что умели делать люди, отделенные от нас тысячелетиями.
Зал №«Многогранники»
Один из возможных рассказов экскурсовода.
Мы с вами находимся во втором зале музея математики, зале «Многогранники». Многогранники мы встречаем повсюду: здания, шкафы, телевизор…. Но что же это такое?С геометрической точки зрения многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками – гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность, на которую обычно накладывают такие ограничения:
1) каждое ребро должно являться общей стороной двух и только двух граней, называемых смежными;
2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней;
3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.
Фигура на рисунке 1 является многогранником (демонстрируется презентация). Совокупность из 18 квадратов на рисунке 2 многогранником не является.
Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Среди них выделяются правильные многогранники, те, которые построены из одинаковых правильных многоугольников, причем в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольников.
Еще в Древней Греции были описаны все правильные многогранники. Их пять: "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр". Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.
Тетраэдр– от греческого слова “тетра” – четыре, составлен из четырех правильных треугольников, символизирует “огонь”. (Экскурсовод демонстрирует тетраэдр)
Гексаэдр (куб) – составлен из шести (гекса) квадратов, символизирует “землю”. (Экскурсовод демонстрирует куб)
Октаэдр – от греческого “окта” - восемь, состоит из восьми правильных треугольников, является символом “воздуха”. (Экскурсовод демонстрирует октаэдр)
Додекаэдр – от греческого слова “додека” – двенадцать, составлен из двенадцати правильных пятиугольников. (Экскурсовод демонстрирует додекаэдр) Древнегреческий философ Платон считал этот многогранник самым загадочным, поэтому он стал символом “Вселенной”.
Икосаэдр– от греческого слова “икос” – 20 – составлен из двадцати правильных треугольников; символизирует "воду". (Экскурсовод демонстрирует икосаэдр)
Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько ребер и вершин. Как и для любых выпуклых многогранников, для правильных справедлива теорема Эйлера. Глядя на таблицу, убедитесь в этом сами.
А сейчас я расскажу о том, как теория правильных многогранников применяется не только в математике, но и в различных других науках.
Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры Макаров и Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают косаэдрододекаэдровую структуру Земли (рис. 7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции, вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрододекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
Правильные многогранники привлекают совершенством форм, симметричностью, что позволило венгерскому инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый " кубик Рубика ", а затем аналогичные головоломки из остальных "Платоновых тел".
В недалеком прошлом молоко разливали в пакеты, которые имели форму не параллелепипеда как сейчас, а тетраэдра. Такую тару было легко изготавливать. Сначала прямоугольная лента склеивается в цилиндр, горизонтальные края которого затем заклеиваются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. (продемонстрировать)
В нашем зале вы сможете увидеть модели правильных многогранников, созданные не только с помощью разверток (указать на них), но и модели правильных многогранников, созданные методами оригами.
Из бумаги можно построить удивительные конструкции, которые в оригами называются кусудамы, в их основе лежат правильные многогранники. Внутри этого яркого многогранника японцы хранят сухие целебные травы. Его обычно подвешивают у постели больного. Но считается, что даже без лечебной травы этот чудо-многогранник аккумулирует космическую энергию и благотворно влияет на человека. Также кусудама передавалась из поколения в поколение как талисман и оберег семьи, как носитель положительной энергии.
Наряду с правильными многогранниками существуют еще многогранники, у которых грани – правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным – их называют полуправильными многогранниками.
Конечно, возникает вопрос: сколько всего существует полуправильных многогранников? Более двух тысяч лет думали, что только тринадцать (их называют телами Архимеда, т.к. именно ему принадлежит их открытие), не считая двух бесконечных серий, составленных из призм и антипризм. Перед вами антипризмы, их существует бесконечно много (продемонстрировать модели).
Разрешите назвать тела Архимеда и показать их изображения (используется материал презентации).
В настоящее время находят все новые и новые полуправильные многогранники. Так математик В.Г. Ашкинузе нашел еще один полуправильный многогранник. Если в многограннике ромбокубооктаэдр верхнюю «восьмиугольную чашу» повернуть на 45º, то получим многогранник, который «не совсем архимедово» тело: он не обладает некоторыми свойствами, которыми обладают тела Архимеда, но зато у него есть свои свойства.
Подробно рассмотрев модели правильных и полуправильных многогранников в нашем музее, я думаю, вы захотите самостоятельно создать такие красивые модели и украсить ими свою квартиру.
Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей.
Показать репродукции работ:
1) Сальвадор Дали «Тайная Вечеря» (1955 г.)
2) Морис Эшер «Рептилии» (литография, 1943 г.)
3) Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери
4) Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе»
5) Национальная библиотека Республики Беларусь.
Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.
При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.
Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.
В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий– вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
Последний правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.
Зал №3 «Зал открытий»