Формирование математических моделей технологических процессов и средств их механизации

Теоретическое исследование чаще всего представляет непрерывную постановку и решение разных по типу и уровню сложности задач в форме противоречий. Любая задача включает условия и требо­вания. Условия - это определение информационной системы, из кото­рой следует исходить при решении задачи. Требования - это цель, к которой нужно стремиться в процессе решения задачи. Условия и требования могут быть исходными, привлеченными и искомыми. Исход­ные условия представляются в первоначальной формулировке задачи. В случае недостаточности этих условий для решения задачи привлекаются новые данные, которые получили название – привлеченные. Третий уровень данных - искомые - это данные, которые необходимо отыскать в процессе решения задачи.

Условия и требования задачи находятся в противоречии, они многократно сталкиваются, сопоставляются, в конечном счете, сбли­жаются между собой. Такое преобразование структурных компонентов задачи продолжается до тех пор, пока не будет решена поставлен­ная задача.

Теоретическое исследование является функцией мышления, ко­торая состоит в том, чтобы открыть, проверить, частично освоить различные области природы, создать и развить мировоззрение.

В общем и целом решение практической задачи математическими методами осуществляется в последовательности: разработка ма­тематической модели; выбор метода исследования полученной модели; анализ результатов математического исследования (результатов).

Математическая модель исследуемого процесса функционирования средств механизации любого производства представ­ляет собой математическое соотношение, а чаще всего систему математических уравнений, представляющих собой взаимосвязь пара­метров и режимов процесса, описывающих этот процесс или отдель­ные его части. В соответствии с видом изучаемого объекта математическое описание процесса или явления может быть представлено в непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической форме.

3.4.1 Определение объекта, цели, задачи (проблемы) и критериев исследования

Главным в математическом моделировании и начальным этапом его является выявление и определение объекта, постановка цели и задач исследования, выбор критериев и методов управления ими.

В перечне действий первого этапа математического моделирова­ния очень важными является введение разумных ограничений соответствующих реалиям функционирования объекта, области значимого взаимодействия его с внешними граничащими объектами. Эти ограничения (границы области влияния объекта) устанавливаются из следующих условий:

- границы должны охватывать те элементы, воздействие кото­рых на исследуемый объект не равно нулю;

- за пределами границ взаимодействие исследуемого объекта с внешним объектом стремится к нулю.

Установление реальных ограничений в процессе математического моделирования обусловливает существенность факторов, включенных в эту модель и возможность рассмотрения ее как замкнутой системынезависимой от внешней среды. Разумеется, что все эти решения вы­полняются с известной степенью приближения.

3.4.2 Выбор типа математической модели и математического аппарата

Выбор типа математической модели и математического аппарата для ее построения - следующий этап теоретического исследования путем моделирования, в связи с чем, прежде всего, определяется, к какому типу относится объект исследования: линейному или нели­нейному; динамическому или статическому, детерминированному или стохастическому, стационарному или нестационарному (рисунок 3.1).

Предварительный анализ объекта исследования и заключение об общей его характеристике обусловливает возможность коррект­ного выбора математического аппарата для построения математической модели.

Необходимо заметить, что выбор математического аппарата не является однозначным, адекватно тому, как и характеристика объек­та не очерчена строгими границами. Поэтому, ориентируясь схемы рисунок 3.1, описание детерминированного динамического процесса мож­но осуществлять с помощью дифференциальных и интегральных урав­нений, уравнений в частных производных, линейной и нелинейной алгебры. Для построения математических моделей стохастических стационарных процессов вполне достаточно теории вероятностей, те­ории информации, алгебры. Для нестационарных же процессов необходимо освоить и использовать теории случайных, марковских про­цессов, дифференциальные уравнения вероятностных характеристик и др.

Для повышения уровня достоверности исследований ряд объек­тов выделяют в группу вероятностно - детерминированных, математи­ческую модель которых можно построить только с использованием теории дифференциальных уравнений с коэффициентами, определяемы­ми по соответствующим законам.

Линейность процесса устанавливается по характеру связи меж­ду величиной внешнего воздействия на исследуемый объект и мак­симальной величиной его реакции на это внешнее воздействие, дру­гими словами - по характеру связи между величиной входного и вы­ходного сигналов. В связи с этим, в случае линейности статической характеристики исследуемого объекта он моделируется с использованием линейных функций.

Нелинейная математическая модель принимается для описания объекта с нелинейной статической характеристикой и при наличии факта запаздывания реагирования объекта на внешнее возмущение.

Динамичность или статичность объекта определяется по характеру изменения значений параметров во времени.

О статичности или динамичности детерминированного процесса можно судить по характеру выходной его характеристики. Если среднее арифметическое значение сигнала по разным отрезкам времени не выходит за допустимые пределы, установленные точностью методики измерений исследуемого показателя, то это указывает на статичность процесса. В случае же стохастических процессов (объектов) признаком статичности является не превышение допустимых пределов изменчивости уровня относительной организации. В этом случае тип модели определяется принадлежностью объекта к классу стационарных процессов. К стационарным процессам относят процессы, среднее арифметическое отклонение которых

 

(Мt_min + DC) > Mt_i > (Mt_min - DC), (3.3)

 

где Мt_min - минимальное среднее арифметической отклонение (из

ряда реализации этого процесса);

DC - точность измерения параметров процесса. ( рисунок 3.1)

Например, получено пять реализаций со средними арифметическими отклонениями Mt₁ = 24; Mt₂ = 24.5; Mt₃ = 24.7; Mt₄ = 23.5; Mt₅ = 23.0. Точность измерения DC = 1.8, Мt_min = 23.0. Процесс по среднему арифметическому отклонению стационарный, так как выполняется условие (3.1):

(23,0 + 1,8) > Mt_i > (23,0 – 1,8)

24,8 > Mt_i > 21,2

Аналогично устанавливается стационарность объекта (процесса, явления) по среднему квадратическому отклонению.

Тип модели и математический аппарат, с помощью которого она строиться, определяется так же целями и задачами математического моделирования: решение простых, практического

характера задач, осуществляется с помощью простых моделей в виде несложных зависимостей, закономерностей; решение сложных проблем, фундаментального характера описывается моделями сложными,

представляемыми несколькими уравнениями, как правило, многофакторными или их системой.

Тип математической модели зависит так же и от того, исследуется непрерывный или дискретный процесс. Если процесс представляет собой непрерывную функцию по времени (пути и т.д.), то он легко и правильно моделируется дифференциальными уравнениями. Если же в исследуемом объекте основной параметр квантуется по времени и амплитуде (дискретный процесс), лучше всего использовать теорию автоматов.

Исследуемый процесс

Детерминированный

Вероятностный

Статический

Динамический

Стационарные

Нестационарные

 

Рисунок 3.1- Схема выбора аппарата для построения математических моделей исследуемых процессов

3.4.3 Определение параметров объекта и вида его взаимодействия с внешней средой

Третьим этапом математического моделирования является установление вида математической модели в выбранном (данном) типе ее, которое сводится к определению пределов параметров объекта и схемы его взаимодействия с внешней средой (по соотношению входных и выходных параметров).

Все реальные варианты взаимодействия объекта с внешней средой сводятся к четырем схемам, получившим следующие условные названия.

Одномерно-одномерная схема (рисунок 3.2.), где рассматривается влияние только одного фактора G на один показатель R. Например, определяется закономерность изменения сопротивления протаскивания плуга по, так называемой, открытой борозде, которое зависит только от силы веса:

 

Rn = Gf, (3.4)

 

где f - коэффициент сопротивления протаскивания плуга.

Как видно из (3.2), при одномерно-одномерном взаимодействии детерминированного объекта с внешней средой входное воздействие связывается с выходным сигналом через посредство постоянного (в конкретных условиях) коэффициента (в примере - f).

В случае не стационарности процесса подобная связь описывается различными функциями, чаще всего – полиномом.

 

G Rn = Gf

 

 

Рисунок 3.2 - Сопротивление протаскивания плуга в открытой борозде в зависимости от силы веса.

 

 

Одномерно-многомерная схема взаимодействия параметров (рисунок 3.3.)

 

Qз

λ Qп

g

Wс

λ - степень неравномерности режима подачи обрабатываемого материала; Qз – количество основного материала в примесях; Qп – количество примесей в основном материале; Wс - производительность.

 

Рисунок 3.3 - Процесс очистки исходного материала в воздушном сепараторе

 

В этом случае на объект воздействует один фактор, а его реакция характеризуется несколькими показателями. Например, степень неравномерности l подачи зерновой смеси в рабочее пространство воздушного сепаратора оказывает влияние на количество зерна Qз, уносимого с примесями, количество примесей Qп, попадаемое с зерном, травмирование g зерна и производительность Wс сепаратора. Объект по этой схеме взаимодействия описывается аналогично модели при одномерно-одномерной схеме взаимодействия с внешней средой, путем определения отдельно математической модели входного воздействия с каждым выходным параметром, при этом остальные выходные параметры принимаются независимыми.

Многомерно-одномерная схема взаимодействия параметров (рисунок 3.4) имеет место, когда на объект (рабочий процесс посевного агрегата) действует несколько факторов, например, рабочая ширина агрегата Ваг, рабочая его скорость u_р и продолжительность рабочего времени смены Трсм, реакция же его характеризуется одним выходным показателем – сменной производительностью

В прикладных науках, в том числе и в механизации сельского хозяйства этот вид взаимодействия используется очень часто и в случае статичности стационарного детерминированного процесса при равнозначности внешних воздействий общее описание объекта производится моделью типа:

 

n_вит

Wсм=f(n_вит, Д_шн,N_вращ)

Д_шн

 

N_вращ

 

Рисунок.3.4 - Сменная производительность прессэкструдера в зависимости от числа витков n_вит, диаметра Д_шн и частоты вращения шнека N_вращ.

 

,

где α – коэффициент значимости внешних воздействий.

 

При неравнозначности же внешних воздействий используется общая модель типа:

.

В случае же не стационарности процесса, как и в предыдущих вариантах, используется модель полного степенного полинома:

 

 

где a_i - постоянный коэффициент значимость каждого внешнего воздействия (фактора);

m - число внешних воздействий на объект;

m₁,m₂ - число парных, тройных и более воздействий факторов (известно, что ).

В результате соответствующих допущений и преобразований модель представляется в конкретизированном виде типа (3.2) и др.

Многомерно-многомерная схема (рисунок 3.5), наблюдается при рассмотрении объекта, на который действует несколько факторов, а его реакция на это воздействие характеризуется также несколькими показателями.

 

 

α R₁

 

B

K_c R₂

 

Jp

R₃

G

 

Рисунок 3.5 - Схема взаимодействия плуга с почвой.

 

Такая схема взаимодействия входных и выходных параметров принята при изучении, например, процесса вспашки почвы плугом. На объект воздействует пять входных параметров: глубина пахоты a, ширина захвата плуга B, удельное сопротивление почвы K₀, рабочая скорость движения агрегата Jp и сила веса G плуга. Выходными параметрами являются: сопротивление R₁ протаскиванию плуга “в открытой борозде”; сопротивление R₂ рыхления и оборачивания обрабатываемого пласта почвы; сопротивление R₃ отбрасывания почвы. Их можно представить зависимостями:

 

R₁ = Gf; R₂ = a BK₀; R₃ = x a BJ² . (3.5)

 

Полный процесс взаимодействия плуга с почвой можно описать общей моделью из трех составляющих:

 

R_пл = Gf + B a K₀ + x a BJ². (3.6)

 

Как видно из моделей (3.3) и (3.4), многомерно-многомерное взаимодействие сводится к многомерно-одномерному, и общая модель объекта принимает вид (3.3) или (3.4) только после преобразований.

Разработка математической модели динамического объекта исследования сводится к составлению и последующему преобразованию дифференциальных уравнений. Методика моделирования динамических систем в классе дифференциальных уравнений, как правило, зависит от вида и сложности взаимодействия исследуемого объекта со средой и априорных знаний входных параметров и выходных сигналов системы.

Более простые динамические объекты описываются путем составления и дальнейшего преобразования полных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка типа:

 

+ a ₀y = KC, y (0) = y₀. (3.7)

 

При описании же более сложных систем пользуются дифференциальными уравнениями второго порядка типа:

 

KC, у (0) = у ₀, (3.8)

 

где a - коэффициент дифференциального уравнения;

K>0 - коэффициент пропорциональности;

y₀ - начальное значение выходного параметра.

При этом обосновываются допущения о независимости друг от друга входных параметров по их действию на объект. В этом случае все факторы приводятся к сумме с помощью коэффициентов чувствительности (в правой части дифуравнения).

В случае неправомочности такого допущения, предварительно устанавливается влияние каждого из входных параметров на выходной показатель и по виду выходных характеристик подбирается другой вид дифференциального уравнения или корректируется прежнее с доведением его до соответствия условиям. При этом полагается, что при одновременном действии факторов выходная характеристика изучаемого объекта представляет собой сумму решений независимых дифференциальных уравнений по каждому фактору.

При ограниченных априорных значениях о входных и выходных параметрах или при их полном отсутствии дифференциальные уравнения составляются на основе знаний свойств и структуры изучаемого объекта.

Как следует из вышеизложенного, универсального, тем более стабильного для всех реалий жизни метода составления дифференциальных уравнений нет. Однако, имеется вполне допустимая общность в подходах к составлению дифференциальных уравнений, заключающаяся в приведении всех реальных геометрических и физических задач к трем видам уравнений: дифференциальные уравнения в дифференциалах; дифференциальные уравнения в производных; простейшие интегральные уравнения (с последующим преобразованием их в дифференциальные). Решение конкретной задачи сводится к выбору одного из них (наиболее отвечающего условиям задачи), дальнейшему его преобразованию и приведению к виду, удобному для определения оптимальных параметров или режимов функционирования исследуемого объекта.