Центр тяжести простых геометрических фигур

Центр тяжести составных плоских фигур.

Иногда плоская пластина имеет такой вид, который позволяет разделить ее на составные части несколькими способами, например тонкую пластинку прямоугольной формы с треугольным вырезом (рис. 183). При определении положения центра тяжести такой пластинки ее площадь можно разделить на четыре прямоугольника (1, 2, 3 и 4) и один прямоугольный треугольник 5 – несколькими способами. Два варианта показаны на рис. 183, а и б.

Наиболее рациональным является тот способ деления фигуры на составные части, при котором образуется наименьшее их число. Если в фигуре есть вырезы, то их можно также включать в число составных частей фигуры, но площадь вырезанной части считать отрицательной. Поэтому такое деление получило название способа отрицательных площадей.

Пластинка на рис. 183, в делится при помощи этого способа всего на две части: прямоугольник 1 с площадью всей пластинки, как будто она целая, и треугольник 2 с площадью, которую считаем отрицательной.

Вес отдельной плоской фигуры можно представить так:
G_i = F_ip,
где F_i – площади каждой поверхности, а p – вес единицы площади фигуры, т.е. удельный вес.

После подстановки этого значения G_i в формулы

x_c = (∑ G_ix_i) / ∑ G_i;
y_c = (∑ G_iy_i) / ∑ G_i;
z_c = (∑ G_iz_i) / ∑ G

получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:
x_c = (∑ F_ix_i) / ∑ F_i;
(3) y_c = (∑ F_iy_i) / ∑ F_i;
z_c = (∑ F_iz_i) / ∑ F_i.

Центр тяжести простых геометрических фигур

.Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
x_c = (∑ G_ix_i) / ∑ G_i;
(1) y_c = (∑ G_iy_i) / ∑ G_i;
z_c = (∑ G_iz_i) / ∑ G_i.

При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.

Если известен радиус дуги r и центральный угол 2α, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести C (рис. 176, а) относительно центра дуги O определится формулой:
(5) x_c = (r sin α)/α.

Если же задана хорда AB=b дуги, то в формуле (5) можно произвести замену
sin α = b/(2r)
и тогда
(5а) x_c = b/(2α).

В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б):
(5б) x_c = OC = 2r/π = d/π.

Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы:
(6) x_c = (2r sin α)/(3α).

Если же задана хорда сектора, то:
(6а) x_c = b/(3α).

В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)
(6б) x_c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты. У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).

10. Главные оси и главные центральные мом. инерции.

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют центральными.Если фигура имеет ось симметрии, то последняя всегда проходит через центр тяжести фигуры, т. е. оси симметрии одновременно являются и центральными осями.Если элементарные площадки, выделенные в пределах рассматриваемого сечения, будем умножать на квадраты расстояний до оси, то получим осевые моменты инерции площадок. Суммируя моменты инерции всех площадок, найдем осевые моменты фигуры в целом:

Составляя интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой произведение элемента площади на квадрат расстояния до начала координат (рис. 9.17), получим полярный момент инерции:

Рис. 9.17. Схема к определению моментов инерции и моментов сопротивления.

Отметим еще одну характеристику, в которой площадка dF умножается на произведение координат

Эту величину называют центробежным моментом инерции. Приведенные моменты инерции измеряются в единицах длины" взятой в четвертой степени (, ).
Осевые и полярные моменты инерции фигуры - величины положительные и не могут быть равными нулю. Центробежный момент инерции в зависимости от положения осей может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями инерции и обозначаются . Для симметричной фигуры ось симметрии является и главной осью.
Осевые моменты инерции, определенные относительно главных осей, имеют максимальное и минимальное значения. Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции образующих ее фигур. Подчеркнем, что сказанное справедливо в том случае, когда все моменты инерции вычисляются относительно одной и той же оси.
Для моментов инерции существует еще одно правило, часто используемое в расчетах. Применительно к осевым моментам оно "формулируется следующим образом: момент инерции фигуры относительно оси, параллельной центральной, равен моменту инерции относительно центральной оси плюс произведение площади фигуры, на квадрат расстояния между осями (рис. 9.18):

Рис. 9.18. Схема к определению моментов инерции относительно разных осей координат.

Для центробежных моментов инерции соответствующее правило в аналитическом виде выглядит так: