Заведующий НМЦ УО О.В. Давыскиба

исп. Чашкина Т.Н.

 

Билет 1

1. Какой угол (в градусах) об­ра­зу­ют ми­нут­ная и ча­со­вая стрел­ки часов в 7:00?

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 48°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

3.

Касательные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 12°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в градусах.

4. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC соответственно. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 21. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABMN.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

 

 

Билет 2

1. Какой угол (в градусах) опи­сы­ва­ет ми­нут­ная стрел­ка за 10 мин?

2. Биссектриса равностороннего треугольника равна . Найдите сторону этого треугольника.

3.

Отрезок AB = 14 ка­са­ет­ся окруж­но­сти ра­ди­у­са 48 с цен­тром O в точке B. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­ди­те AD.

4. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC соответственно. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 1. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABMN.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

 

Билет 3

1. Проектор полностью освещает экран A высотой 160 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 80 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

2. Два угла впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 82° и 58°. Най­ди­те боль­ший из остав­ших­ся углов. Ответ дайте в градусах.

3. AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 13°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

4.

В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC соответственно. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 2. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABMN.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах.

 

Билет 4

1. Лестницу дли­ной 3 м при­сло­ни­ли к дереву. На какой вы­со­те (в метрах) на­хо­дит­ся верхний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла дерева на 1,8 м?

2. Высота рав­но­бед­рен­ной трапеции, проведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 14 и 15. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

3. В угол C ве­ли­чи­ной 57° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. Высота рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна 10. Най­ди­те его площадь, делённую на

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне .

 

Билет 5

1. Картинка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 27 см и 43 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ширины. Площадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окантовкой, равна 2337 см². Ка­ко­ва ши­ри­на окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

2. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC катет AC = 25, а вы­со­та CH, опу­щен­ная на гипотенузу, равна . Най­ди­те .

3. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что Длина мень­шей дуги AB равна 63. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

4.

Высота ромба делит его сторону на отрезки и . Найдите площадь ромба.

5.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Билет 6

1. На какой угол (в гра­ду­сах) по­во­ра­чи­ва­ет­ся ми­нут­ная стрел­ка, пока ча­со­вая про­хо­дит 14°?

2.

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 146°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в градусах.

3. Найдите пло­щадь квадрата, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 39.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах.

 

Билет 7

1. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 14 см и 27 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 558 см . Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

2. Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

3. К окружности с центром в точке проведены касательная и секущая . Найдите радиус окружности, если ,

4. Най­ди­те пло­щадь квадрата, если его диа­го­наль равна 20.

5.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

 

Билет 8

1. Мальчик и девочка, рас­став­шись на перекрестке, пошли по вза­им­но перпендикулярным дорогам, маль­чик со ско­ро­стью 4 км/ч, де­воч­ка — 3 км/ч. Какое рас­сто­я­ние (в километрах) будет между ними через 30 минут?

2. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 140°. Най­ди­те боль­ший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

3.

Отрезок AB = 18 ка­са­ет­ся окруж­но­сти ра­ди­у­са 80 с цен­тром O в точке B. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­ди­те AD.

4. Тангенс остро­го угла пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равен . Най­ди­те её боль­шее основание, если мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те и равно 55.

5.

На квад­рат­ной сетке изображён угол . Най­ди­те .

 

 

Билет 9

1. Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите медиану этого треугольника.

2.

Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 138°. Ответ дайте в градусах.

3.

Окружность с центром в точке описана около равнобедренного треугольника , в котором и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

4. В пря­мо­уголь­ни­ке диагональ равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен 30°, длина этой сто­ро­ны . Най­ди­те площадь прямоугольника, деленную на

5. Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого на рисунке.

 

Билет 10

1. На сколь­ко гра­ду­сов по­вер­нет­ся Земля во­круг своей оси за 7 часов?

2. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 5 и 13 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

3.

В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диаметры. Цен­траль­ный угол AOD равен 122°. Най­ди­те вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

4. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 5 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

 

 

Билет 11

1. Определите, сколь­ко необходимо за­ку­пить пленки для гид­ро­изо­ля­ции садовой дорожки, изоб­ра­жен­ной на рисунке, если её ши­ри­на везде одинакова.

2.

В треугольнике известно, что , - биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

3.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 30, BC = Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около этого треугольника.

4. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 25.

5.

На ри­сун­ке изображен па­рал­ле­ло­грамм . Ис­поль­зуя рисунок, най­ди­те .

 

Билет 12

1. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 6,3 м от земли. Длина троса равна 6,5 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

2.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AL, угол ALC равен 78°, угол ABC равен 52°. Най­ди­те угол ACB. Ответ дайте в градусах.

3.

AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 79°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

4. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC соответственно. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 7. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABMN.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Билет 13

1. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 880 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 900 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 400 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

2. Найдите величину острого угла параллелограмма , если биссектриса угла образует со стороной угол, равный 43°. Ответ дайте в градусах.

3. Найдите пло­щадь квадрата, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 7.

4. В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 7, BC = 3, а её пло­щадь равна 85. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

5.

Найдите тангенс угла , изображённого на рисунке.

 

Билет 14

1. Определите вы­со­ту дома, ши­ри­на фасада ко­то­ро­го равна 6 м, вы­со­та от фун­да­мен­та до крыши равна 4 м, а длина ската крыши равна 5 м.

2.

На прямой AB взята точка M. Луч MD — биссектриса угла CMB. Известно, что ∠ DMC = 29°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

3. В угол C ве­ли­чи­ной 118° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4.

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.

5.

На ри­сун­ке изображен па­рал­ле­ло­грамм . Ис­поль­зуя рисунок, най­ди­те .

 

Билет 15

1. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 6,3 м от земли. Длина троса равна 6,5 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

2. Найдите величину острого угла параллелограмма , если биссектриса угла образует со стороной угол, равный 28°. Ответ дайте в градусах.

3. В окруж­но­сти с цен­тром в точке O про­ве­де­ны диа­мет­ры AD и BC, угол OAB равен 25°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OCD.

4.

Высота ромба делит его сторону на отрезки и . Найдите площадь ромба.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах.

Билет 16

1. Скло­ны горы об­ра­зу­ют с го­ри­зон­том угол , ко­си­нус которого равен 0,8. Рас­сто­я­ние по карте между точ­ка­ми A и B равно 10 км. Опре­де­ли­те длину пути между этими точ­ка­ми через вер­ши­ну горы.

2. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .

3. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

4. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диагоналей — 10, а угол, ле­жа­щий напротив этой диагонали, равен 60°. Най­ди­те площадь ромба, деленную на

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

 

Билет 17

1. Какой угол (в градусах) об­ра­зу­ют ми­нут­ная и ча­со­вая стрел­ки часов в 7:00?

2. Медиана равностороннего треугольника равна . Найдите сторону этого треугольника.

3. Отрезки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окружности. Най­ди­те длину хорды CD, если AB = 30, а рас­сто­я­ния от цен­тра окруж­но­сти до хорд AB и CD равны со­от­вет­ствен­но 20 и 15.

4.

В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC соответственно. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 20. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABMN.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Билет 18

1. Сколько спиц в колесе, если угол между со­сед­ни­ми спи­ца­ми равен 24°?

2.

Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 138°. Ответ дайте в градусах.

3.

Касательные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 68°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в градусах.

4. Сторона ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те площадь ромба.

5.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

 

Билет 19

1. Короткое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 3 м. На какую вы­со­ту (в метрах) опу­стит­ся конец ко­рот­ко­го плеча, когда конец длин­но­го плеча под­ни­ма­ет­ся на 1,8 м?

2. Сторона треугольника проходит через центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.

3. AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 41°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

4.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 108. Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABED.

5.

Найдите тангенс угла , изображённого на рисунке.

Билет 20

1. Какой угол (в градусах) опи­сы­ва­ет ми­нут­ная стрел­ка за 10 мин?

2.

ABCDEFGHI — правильный девятиугольник. Найдите угол AIH. Ответ дайте в градусах.

3.

Отрезок AB = 18 ка­са­ет­ся окруж­но­сти ра­ди­у­са 80 с цен­тром O в точке B. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­ди­те AD.

4. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 5 и HD = 15. Диагональ параллелограмма BD равна 17. Найдите площадь параллелограмма.

5.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

 

 

Билет 21

1. Мальчик прошёл от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 550 м. Затем по­вер­нул на север и прошёл 480 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­зал­ся мальчик?

2.

Высота рав­но­бед­рен­ной трапеции, проведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 8 и 15. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

3.

Окружность с центром в точке описана около равнобедренного треугольника , в котором и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

4. В тре­уголь­ни­ке ABC известно, что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 76. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

5. Найдите тангенс острого угла, изображённого на рисунке.

 

Билет 22

1. Сколько всего осей сим­мет­рии имеет фигура, изображённая на рисунке?

2. Ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O равен 87, длина хорды AB равна 126 (см. рисунок). Най­ди­те рас­сто­я­ние от хорды AB до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной k.

3.

Сторона AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через центр опи­сан­ной около него окружности. Най­ди­те ∠ C, если ∠ A = 44°. Ответ дайте в градусах.

4.

Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.

5.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

 

 

Билет 23

1 Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большой опоры. Ответ дайте в метрах.

2. В треугольнике ABC про­ве­де­ны медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 73 и BC = BM. Най­ди­те AH.

3. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 8, AO = 10.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне .

Билет 24

1. Колесо имеет 18 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол, который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

2. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .

3.

Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до точки О, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 8.

4.

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника.

5.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

 

 

Билет 25

1.

Лест­ни­цу дли­ной 2 м при­сло­ни­ли к де­ре­ву. На какой вы­со­те (в мет­рах) на­хо­дит­ся верх­ний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла де­ре­ва на 1,2 м?

2. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .

3.

На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что Длина мень­шей дуги AB равна 63. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

4. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 24 и HD = 2. Най­ди­те пло­щадь ромба.

5. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Билет 26

1.

Наклонная крыша уста­нов­ле­на на трёх вер­ти­каль­ных опорах, рас­по­ло­жен­ных на одной прямой. Сред­няя опора стоит по­се­ре­ди­не между малой и боль­шой опо­ра­ми (см. рис.). Вы­со­та сред­ней опоры 3,1 м, вы­со­та боль­шей опоры 3,3 м. Най­ди­те вы­со­ту малой опоры.

2. Площадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна Один из ост­рых углов равен 30°. Най­ди­те длину катета, ле­жа­ще­го на­про­тив этого угла.

3.

Касательные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 14°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в градусах.

4. Одна из сто­рон параллелограмма равна 12, дру­гая равна 5, а тан­генс одного из углов равен . Най­ди­те площадь параллелограмма.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

 

 

Билет 27

1. Про­ек­тор пол­но­стью осве­ща­ет экран A вы­со­той 50 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 100 см от про­ек­то­ра. Найдите, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 150 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки про­ек­то­ра оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми. Ответ дайте в сантиметрах.

2. Найдите величину острого угла параллелограмма , если биссектриса угла образует со стороной угол, равный 30°. Ответ дайте в градусах.

3. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 18, AO = 82.

4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

5.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.