Критерий дифференцируемости функции

Правила дифференцирования

Приведем основные правила для нахождения производной:

1. Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

u (x)± v (x)) ' = u' (x)± v' (x).

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

(u (x) v (x)) ' = u' (x) v (x) +u (x) v' (x).

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu (x)) ' = cu' (x).

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(u (x) /v (x)) ' = (u' (x) v (x) -u (x) v' (x)) /v 2(x)

при условии, что v(x)¹ 0.

Дифференцирование сложной и обратной функций

Приведем правило по которому можно найти производную сложной функции y = f(f(t)).

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть
функция x = f (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f (t). Тогда сложная функция y = f( f (t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). ПриращениюD x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x)дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1):

D y =f' (x)D x + a (D x) D x,

где lim_{D x® 0}a (D x) = 0. Поделив данное выражение на D t ¹ 0, будем иметь:

D y/ D t=f' (x)D x/ D t+ a (D x)D x/ D t.

Из дифференцируемости функции x = f (t) в точке t вытекает, что

lim_{D t ® 0}D x/ D t = f ' (t).

Отметим, что из дифференцируемости функции x = f(t) следует, что D x® 0 при Dt® 0. Следовательно, lim_{D t® 0}a (D x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).

Пример 5. Найти y', если y = 5^{cos x}.

y' = 5^{cos x} (-sin x)ln 5=-5^{cos x} sin x ln 5.

Для нахождения производной обратной функции существует следующее правило, а именно справедлива теорема

Теорема 4 (производная обратной функции). Пусть функция
y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x) ¹0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^- 1 (y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^- 1 (y) и для ее производной справедлива формула

(f^- 1(y)) ' = 1 /f' (x).

Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f^-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x).

Пусть D y¹ 0 приращение для y, а D x - соответствующее приращение обратной функции x = f^-1(y). Тогда справедливо равенство

D x/ D y = 1 / (D y/ D x).

Переходя к пределу в последнем равенстве при D y® 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции D x® 0, получим

lim_{D y ® 0}D x/ D y = 1 / (lim_{D x ® 0}D y/ D x).

То есть, x'(y) = 1/y'(x).

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M – точка графика функции f(x), (рис.22), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона aкасательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f^-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона b той же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона a+ b=p/2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tgb = 1/tga.

Пример 6. Найти x'_y, если y = 2x³+3x⁵+x Имеем y' = 6x²+15x⁴+1, тогда x'_y = 1/y'_x = 1/(6x²+15x⁴+1).

Дифференциал функции

Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества E, если ее приращение Δ f (x ₀), соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде

Δ f (x ₀) = A (x ₀)(x - x ₀) + ω (x - x ₀), (1)

где ω (x - x ₀) = о (x - x ₀) при x → x ₀.

Отображение , называется дифференциалом функции f в точке x ₀, а величина A (x ₀) h - значением дифференциала в этой точке.

Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df (x ₀), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом,

df (x ₀) = A (x ₀) h.

Разделив в (1) на x - x ₀ и устремив x к x ₀, получим A (x ₀) = f' (x ₀). Поэтому имеем

df (x ₀) = f' (x ₀) h. (2)

Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df (x ₀) (при f' (x ₀) ≠ 0) есть главная часть приращения функции f в точке x ₀, линейная и однородная в то же время относительно приращения h = x - x ₀.

Критерий дифференцируемости функции

Для того чтобы функция f являлась дифференцируемой в данной точке x ₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x ₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df (x ₀) = f' (x ₀) dx. (3)

Если x = φ (t) - дифференцируемая функция, то dx = φ' (t ₀) dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.