Теория атома водорода по Бору

Модель Томсона. Атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар с линейными размерами порядка 10^-10м, внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны. Суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом нейтрален.Эта модель после опытов Резерфорда по рассеянию α-частиц в веществе была отвергнута.

Модель атома Резерфорда. Вокруг положи-тельного ядра с зарядом Ze, размером 10^-15—10^-14 м и массой, практически равной массе атома, в области с линейными размерами ~10^-10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома.Атомы нейтральны, поэтому заряд ядра равен суммарному заряду электро­нов, т. е. вокруг ядра вращается Z электронов (Z — порядковый номер элемента в системе Менделеева).На основании второго закона Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновской силы,

 

 

Это условие содержит два неизвестных: r и v, т. е. величины r и v (а значит, и энергия) могут изменяться непрерывно, т. е. спектры атомов — сплошные. Однако атомы имеют линейчатые спектры. Поэтому модель атома Резерфорда противоречила опытным данным. Линейчатый спектр атомов

Каждому газу присущ свой линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий.

Обобщенная формула Бальмера

 

описывает серии в спектре простейшего атома — атома водорода. ν — частота спектральных линий в спектре атома водорода; R - постоянная Ридберга; m определяет серию (m = 1,2,3,...); n определяет отдельные линии соответствую-щей серии (n = m + 1, m + 2,...)

 

Спектральные серии атома водорода

В ультрафиолетовой области спектра

серия Лаймана

В видимой области спектра

серия Бальмера

В инфракрасной области спектра

серия Пашена

серия Брэкета

серия Пфунда

 

серия Хэмфри

 

Эти формулы подобраны эмпирически, подтверждены экспериментально, но не имели теоретического обоснования. Вид формул, повторяемость в них целых чисел, универсальность постоянной Ридберга cвидетельствует о глубоком физическом смыс-ле этих закономерностей, не объяс­няемых в рамках классической физики.

Постулаты Бора

Идея Бора заключалась в сведение в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спект­ров, ядерную модель Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света.

Первый постулат Бора

В атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, характеризующиеся определенными дискретными значениями энергии, в которых он не излучает энергию.

Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

 

где m_е — масса электрона, v_n — его скорость по n-й орбите радиуса г_n,

Второй постулат Бора

При переходе электрона с одной орбиты на другую излучается (погло­щается) один фотон с энергией

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Е_n и Е_m соответ-ственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)).

При Е_n > Е_m происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т. е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую), при Е_n < Е_m — поглощение фотона (переход атома в состояние с большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту).Набор возможных дискретных частот

 

квантовых переходов определяет линейчатый спектр атома.

 

 

Опыты Франка и Герца

Цель опытов: доказательство существования в атомах стационарных состояний, т. е. экспери-ментальное подтверждение постулатов Бора.

Экспериментальная устан овка

Электроны, ускоренные в области 1, попа­дают в область 2 между сетками, где испытывают соударения с атомами паров ртути.

 

Электроны, которые после соударения имеют достаточную энергию для преодоления задерживающего потенциала в области 3, достигают анода.

Опытные данные

Ближайшим к основному, невозбужден­ному, состоянию атома ртути является возбужденное состояние, отстоящее от основного по шкале энергий на 4,86 эВ.Пока разность потенциалов между като­дом и сеткой меньше 4,86В, электроны, встречая на своем пути атомы ртути, испытывают с ними только упругие соударения. При eφ = 4,86эВ энергияэлектрона становится достаточной, чтобы вызвать неупругий удар, при котором электрон отдает атому ртути всю кинетическую энергию, возбуждая переход одного из электронов атома из нормального энергетического состоя­ния на возбужденный энергетический уровень. Этим и объясняется первое резкое падение тока при eφ

I

= 4,86эВ.

 

При энергиях, кратных 4,86 эВ, электроны испытывают 2, 3,... неупругих соударения и опять наблюдается резкое падение тока (см. рисунок).Итак, 4,86 эВ - наименьший квант энергии, поглощаемый атомом ртути в основном состоянии. Таким образом, в атоме действительно существуют стационарные состояния (подтверждение первого постулата Бора).

Атомы ртути, получившие при соударении с электронами энергию Е, оказавшись в возбужденном состоянии, должны вернуться в основное, излучая, согласно второму постулату Бора, световой квант с частотой ν = Е/h (λ= 255нм) Опыт действительно обнаруживает подобную линию (подтверждение второго постулата Бора).

 

Радиус n -й стационарной орбиты определяется из уравнений

 

 

Решая эту систему уравнений, находим

 

Первый боровский радиус

Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра:

 

(здесь учтено, что

 

Учитывая квантованные для r_n значения, получаем

 

.(знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии).

Придавая n целочисленные значения,получаем для атома водорода (Z = 1)энергетические

 

 

уровни, схематически представленные на рисунке.

 

Атом водорода обладает минимальной энергией (E₁ = -13,55 эВ) при n = 1 и максимальной ( = 0) при n = (при удалении электрона из атома). Значение =0 соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона).

Подставляя в обобщенную формулу Бальмера m = 1 и n = 2, 3, 4, получаем группу линий, образующих серию Лаймана, соответствующих переходам электро­нов с возбужденных уровней (n = 2,3,4,...) на основной (m = 1). Аналогично, при подстановке m = 2. 3, 4, 5, 6 и соответствующих им значений n получим серии Бальмера, Пашeна, Брэкета, Пфунда и Хэмфри, представленных схематически на рисунке).