Упражнения: дерево решений





Дерево решений

Использование дерева решений может помочь представить конкретную проблему и установить вероятность наступления конкретных событий и их ожидаемые значения. Такого рода диаграммы ведут к построению более простого дерева вероятностей, связанных с последовательностью исходов. Дерево решений иллюстрирует результаты конкретных принимаемых решений, а также вероятный результат с точки зрения критических факторов, таких, как прогнозные доходы и расходы.

Дерево решений состоит из двух основных частей: «решений» и «вероятностных событий». Они представлены квадратами и кругами, как это показано на рис. 1. Эти решения и вероятностные события связаны, что видно из последующих примеров.

 

Рис.1. Составные части дерева решений

 

Определение. Дерево решений – это графическое отображение ситуации, имеющей несколько альтернативных решений. С помощью рассчитанных ожидаемых значений дерево решение позволяет выявить наиболее приемлемое решение для каждого этапа.

 

Пример 1.

Предположим, что вы владеете акциями стоимостью 1000 ф. ст. Вы должны принять решение относительно того, держать ли акции, продать их все или купить еще акции на сумму 500 ф. ст. Вероятность 20%-ного роста курсовой стоимости акции составляет 0,6, а вероятность снижения курсовой стоимости на 20% - 0,4. Какое решение необходимо принять с тем, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль?

Сначала необходимо решить, что делать с акциями: купить еще, все продать или все держать. Это отображено с помощью дерева решений на рис. 2. Диаграмма содержит величину доходов или расходов в случае принятия того или иного решения. Например, вариант «продажи» даст доход в 1000 ф. ст. (показан как +1000 на дереве). В противоположность этому, вариант «покупки» принесет расходы в семе 500 ф. ст. (показаны как -500 на дереве). Если вы продадите акции, тогда их у вас будет ноль.

 

 

Рис. 2. Покупать, продавать или ни то, ни другое

 

Если вы просто будете держать акции, то в случае 20%-ного подъема на рынке их стоимость составит 1200 ф. ст., а в случае 20%-ного спада – 800 ф. ст. В другом случае, после покупки акций стоимостью 1800 ф. ст., а при падении – стоимостью 1200 ф. ст. Данные значения указаны на конце каждой ветви в правой части дерева решений (см. рис. 3.). Дерево также показывает вероятности возможных событий (т.е. рост или падение курсовой стоимости акций), а также денежные средства, затраченные или полученные при этом. Например, покупка акции 500 ф. ст. (т.е. в данной точке диаграммы указано -500 ф. ст.). Аналогично, продажа акций даст доход в 1000 ф. ст., и это указано рядом с соответствующей ветвью дерева.

 

 

Рис. 3. Дерево решений

 

Начиная с правой стороны и двигаясь влево, производится расчет ожидаемых значений, как это показано на рис. 4. Таким образом, ожидаемое значение в блоке вероятностных событий А рассчитывается путем умножения каждой вероятности на значение в конце ветви, т.е. ожидаемой значение в блоке А составляет 0.6 х 1800 + 0.4 х 1200 = 1560 ф. ст. аналогично, ожидаемое значение для блока Б составляет 0.6 х 1200 + 0.4 х 800 = 1040 ф. ст.

И наконец, можно принять решение на основании выводы ожидаемых значений по соответствующим ветвям обратно к блоку решений В. Три возможных пути обратно к блоку В дают следующие значения:

Вариант 1: 1560 – 500 = 1060 ф. ст.

Вариант 2: 0 + 1000 = 1000 ф. ст.

Вариант 3: 1040 + 0 = 1040 ф. ст.

 

Рис. 4. Ожидаемые значения

 

Следовательно, на основании данного критерия с целью максимизации ожидаемой стоимости акции вы предпочтете вариант 1. Таким образом, вы решите купить еще акции на сумму в 500 ф. ст., что даст вам ожидаемую чистую прибыль в 1060 ф. ст. Это значение показано в блоке В, а путь решения выделен, как показано на рисунке. Следует отметить, что этот способ принятия решения, основанный на максимизации ожидаемой отдачи, может не всегда оказаться приемлемым. Например, также необходимо учитывать факторы риска.

 

Пример 2.

 

Начальник отдела маркетинга компании «Даунбрукс» рассматривает возможность запуска нового продукта. Необходимо принять ряд решений, связанных со сбытом этого нового продукта. Сначала необходимо решить, попытаться ли немедленно приступить с сбыту, предварить его исследованием рынка или же полностью отказаться от проекта. Проведение маркетингового исследования обойдется приблизительно в 50 000 ф. ст. Сбыт товара обойдется в 100 000 ф. ст., так как потребуется закупать дополнительное оборудование и понести затраты по монтажу и наладке. Отказ от проекта, в конечном счете, сэкономит компании 250 000 ф. ст. на расходах на содержание персонала.

Если компания решиться на проведение маркетингового исследования, тогда вопрос, продавать новый товар или отказаться от него, все еще останется открытым. Вероятность оценочных объемов продаж будет зависеть от того, проводилось маркетинговое исследование или нет, а также от результатов такого исследования, которые могут оказаться либо положительными (р=0,7), либо отрицательными (р=0,3). В таблице приведены вероятности различных объемов продаж нового продукта с учетом и без учета маркетингового исследования. В компании оценивают, что высокий объем продаж принесет доход в размере 1 млн. ф. с.т., средний – 500 000 ф. ст. и низкий – только 200 000 ф. ст.

Дерево решений, приведенное на рис. 5., иллюстрирует возможные решения, а также оценки вероятностей наступления возможных событий.

 

 

 

Рис. 5. Запуск нового продукта

 

 

Оценочная вероятность объема продаж

 

Объем продаж Без маркетингового исследования С проведением маркетингового исследования
Положительный ответ Отрицательный ответ
Высокий Средний Низкий 0.2 0.4 0.4 0.4 0.4 0.2 0.1 0.1 0.8

 

Вероятности, указанные в таблице, отмечены на этом дереве решений. Также отмечены различные затраты. Например, проведение маркетингового исследования стоит 50 000 ф. ст. (сокращено 50К) и показано на диаграмме как отрицательное значение.

И наконец, начиная с правой стороны и идя в обратном направлении, рассчитываем ожидаемые значения. Например, ожидаемое значение в блоке А, отмеченном на рис. 6., получается следующим образом: 0.4 х 1 000 000 + 0ю4 х 500 000 + 0.2 х 200 000 = 640 000 ф. ст. Продвигаясь в обратном направлении от данного вероятностного события, получаем блок решений, помеченный как Б, в котором содержится максимальное ожидаемое значение от двух ветвей (продавать или отказаться).

Рис. 6. Запуск нового продукта

 

Вариант «продавать» дает ожидаемое значение в сумме 540 000 ф. ст. (т.е. уже рассчитанные 640 000 ф. ст. за вычетом 100 000 ф. ст. реализационных издержек). Как вариант «отказ» от продукта дает ожидаемое значение, равное 250 000 ф. ст. Таким образом, решение данной ситуации будет состоять в том, чтобы продавать, что дает ожидаемое значение 540 000 ф. ст. (это показано как 540К внутри блока Б).

Аналогичным образом получаем ожидаемое значение для вероятностного события (блок В): 0.7 х 540 000 + 0.3 х 250 000 = 453 000 ф. ст.

В окончательно виде ситуация представляется таким образом, что для максимизации ожидаемой прибыли компании необходимо:

1. провести маркетинговое исследование и

2 если результаты маркетингового исследования положительны, приступить к сбыту продукта, а если отрицательны – отказаться от продукта.

Дереве решений показывает, что ожидаемая прибыль, основанная на этих решениях (блок Г), равна 403 000 ф. ст.

По этим примерам видно, что процессы, задействованные при определении «наилучшего» решения, основываются на максимизации ожидаемых значений. Такой подход, по всей видимости, приемлем в условиях неоднократного принятия сходных решений. В этом случае ожидаемое значение дает оценку среднего (например, средней прибыли) из большого множества решений. Однако в ситуациях, когда требуется принимать нестандартные, т.е. разовые решения, такой подход, учитывающий ожидаемые значения, может оказаться неэффективным. Так, в примере 1 вариант «покупать» дает максимальное ожидаемое значение, равное 1060 ф. ст. Однако, как мы видим, если выбрать данный вариант стоимостью 500 ф. ст., конечное значение рыночной стоимости акции составит либо 1800, либо 1200 ф. ст. в зависимости от подъема или спада на рынке. Таким образом, если мы отнимем 500 ф. ст., то чистая стоимость акции составит 1300 или 700 ф. ст. Данные значения сопоставимы со значениями 1200 или 800 ф. ст. при выборе варианта 3 (держать акции) и, тем более, со значением 100 ф. ст. варианта 2.

Как мы видим, различные критерии принятия решения могут привести к появлению разнообразных альтернатив. Так, решение может основываться на максимизации минимально возможной прибыли. В этом случае вариант 3 (при котором минимальная прибыль составляет 800 ф. ст.) лучше, чем вариант 1, при котором можно оказаться в конечно счете только с 700 ф. ст. Фактически вариант 2 (продавать акции) является самым безопасным, так как при этом будут получены 100 ф. ст. На этом простом примере видно, что применение ожидаемых значений не всегда есть лучший или наиболее приемлемый путь.

Таким образом, дерево решений необходимо использовать с осторожностью, с известной долей здравого смысла, и при этом всегда следует точно указывать, какие были отобраны критерии принятия решения.

 

На практике при анализе дерева решений часто сталкиваются с трудностью количественной оценки возможных исходов. Субъективные вероятности также могут иметь большие погрешности, и результат решения очень чувствительно реагирует на изменение этих вероятностей. Дерево решений обеспечивает количественную оценку последствий принимаемых решений в соответствии с точностью входных данных.

Упражнения: дерево решений

Задача 1.

Допустим, у вас имеется возможность вложить деньги в три инвестиционных фонда открытого типа: простой, специальный (обеспечивающий максимальную долгосрочную прибыль от акций мелких компаний) и глобальный. Прибыль от инвестиции может измениться в зависимости от условий рынка. Существует 10%-ная вероятность, что ситуация на рынке ценных бумаг ухудшится, 50%-ная – что рынок останется умеренным и 40%-ная – рынок будет возрастать. Следующая таблица содержит значения процентов прибыли от суммы инвестиции при трех возможностях развития рынка.

 

Альтернатива (фонды) Процент прибыли от инвестиции (%)
Ухудшающийся рынок Умеренный рынок Растущий рынок
Простой Специальный Глобальный +5 -10 +2 +7 +5 +7 +8 +30 +20

 

а) Представьте задачу в виде дерева решений.

b) Какой фонд открытого типа вам следует выбрать?

 

Задача 2.

Есть возможность вложить деньги или в 7,5%-е облигации, продаваемые по номинальной цене, или в специальный фонд, который выплачивает 2% дивидендов от рыночной стоимости акций, или положить в банк, где ставка 5%. Если есть прогноз увеличения инфляции, то номинальная стоимость облигации увеличивается на 10%, цена акций фонда уменьшается на 5%, ставка банка становится 6%. Если инфляция постоянна, номинальная стоимость облигаций и процентная ставка банка не изменяются, а цена акций увеличивается на 8%. Если прогнозируется уменьшение инфляции, то номинальная стоимость облигаций поднимается на 5%, цена акций фонда – на 20%, ставка банка будет 4%. Экономисты оценивают вероятность увеличения инфляции в 20%, уменьшения – 15%.

Представьте задачу в виде дерева решений и определите, куда вы будете вкладывать деньги.

 

Задача 3.

Предположим, что Вы хотите вложить на фондовой бирже 10 000 в акции одной из двух компаний: А или В. Акции компании А - рискованные, но могут принести 50% прибыли от суммы инвестиций на протяжении следующего года. Если условия фондовой биржи будут неблагоприятны, сумма инвестиций может обесцениться на 20%. Компания В обеспечивает безопасность инвестиций с 15% прибыли в условиях повышения котировок на бирже и только 5% - в условиях понижения котировок. Все аналитические публикации с которыми можно познакомиться с вероятностью 60% прогнозируют повышение котировок и с вероятностью 40% - понижение. В какую компанию следует вложить деньги?

 

Задача 4.

Предприниматель провел анализ, связанный с открытием магазина. Если он откроет большой магазин, то при благоприятном состоянии рынка получит прибыль 60 млн. рублей, при неблагоприятном – понесет убытки 40 млн. рублей. Маленький магазин принесет ему 30 млн. рублей прибыли при благоприятном состоянии рынка и 10 млн. рублей убытков при неблагоприятном. Возможность благоприятного и неблагоприятного состояния рынка он оценивает одинаково. Исследование рынка, которое может провести специалист, обойдется предпринимателю в 5 млн. рублей. Специалист считает, что с вероятностью 0,6 состояние рынка окажется благоприятным. В то же время при положительном заключении состояние рынка окажется благоприятным лишь с вероятностью0,9. При отрицательном заключении с вероятностью 0,12 состояние рынка может оказаться благоприятным. Используйте дерево решений для того, чтобы помочь предпринимателю принять решение. Следует ли заказать проведение обследования рынка? Следует ли открыть большой магазин? Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?

 

Задача 5.

Компания рассматривает вопрос о строительстве завода. Возможны три варианта действий.

А. Построить большой завод стоимостью М1 = 700 тысяч долларов. При этом варианте большой спрос (годовой доход в размере R1 = 280 тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятность p1 = 0,8 и низкий спрос (ежегодные убытки R2 = 80 тысяч долларов) с вероятностью p2 = 0,2.

Б. Построить маленький завод стоимостью М2 = 300 тысяч долларов. При этом варианте большой спрос (годовой доход в размере Т1 = 180 тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятность p1 = 0,8 и низкий спрос (ежегодные убытки Т2 = 55 тысяч долларов) с вероятностью p2 = 0,2.

В. Отложить строительство завода на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью p3 = 0,7 и p4 = 0,3 соответственно. В случае позитивной информации можно построить заводы по указанным выше расценкам, а вероятности большого и низкого спроса меняются на p5 = 0,9 и p6 = 0,1 соответственно. Доходы на последующие четыре года остаются прежними. В случае негативной информации компания заводы строить не будет.

Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны дисконтироваться. Нарисовать дерево решений. Определить наиболее эффективную последовательность действий, основываясь на ожидаемых доходах. Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?

 

Задача 6.

 

Предприятие решает вопрос о том, какую назначить цену на свой товар: 60 руб. ил 70 руб. Если будет установлена цена 60 руб., то возможны следующие варианты объема продаж: 50 000 руб. с вероятностью 0,3; 45 000 руб. с вероятностью 0,4 и 40 000 руб. с вероятностью 0,3. Если будет установлена цена 70 руб., то возможны следующие варианты объема продаж: 46 000 руб. с вероятностью 0,2; 43 000 руб. с вероятностью 0,4 и 41 000 руб. с вероятностью 0,4. Определить с помощью дерева решений, какую цену следует назначить предприятию на свой товар. Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?

 

Задача 7

Организация, имея 600 (здесь и далее тыс. долл.), рассматривает возможность положить их на депозит или реализовать следующий проект. Некоторая партия товара может быть куплена за 500 и продана за 560.

Анализируемые риски возникают только в процессе доставки товара.

Рассматриваются два вида доставки:

авиатранспортом с затратами 22 включающими обязательную страховку товара по цене приобретения. Вероятность авиакатастрофы - 0,001;

автотранспортом с затратами 8, причем риск обуславливается только возможностью ограбления, которое может произойти при нападении с целью ограбления. Вероятность нападения - 0,1. Дополнительно надо учесть, что

можно застраховать товар или по цене приобретения, или по цене реализации. При этом отношение сумм страховых выплат к цене страхового полиса составляют 40:1.

можно организовать охрану груза за 5, но при этом известно, что в 10% случаев наличие охраны не помогает спасти груз.

Оставшиеся средства организация помещает на депозит по ставке 2%.

Требуется выбрать оптимальный вариант доставки груза

1.В условиях недоверия к предоставленным статистическим данным (вероятностям) применить метод принятия решений в условиях неопределенности, т.е. решить задачу методом Теории игр, исходя из того, что или есть нападение, или нет; или есть ограбление, или нет. Решать по критериям Сэвиджа и Гурвица;

2.В условиях доверия к статистическим данным (вероятностям) построить Дерево решений и выбрать вариант по нему.

 





Читайте также:
Романтизм: представители, отличительные черты, литературные формы: Романтизм – направление сложившеесяв конце XVIII...
Основные этапы развития астрономии. Гипотеза Лапласа: С точки зрения гипотезы Лапласа, это совершенно непонятно...
Особенности этнокультурного развития народов Пензенского края: Пензенский край – типичный российский регион, где проживает ...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.036 с.