Необходимые сведения из теории.

Задание №1

Тема: Погрешности источники их возникновения. Правила вычисления погрешностей

 

Пусть а, b, у — приближенные числа с верными в строгом смысле значащими цифрами, х — точное число. Вычислите

и оцените погрешность результата. Для вычисления значений фун­кций е^x и sin у используйте либо математические таблицы, либо мик­рокалькулятор, либо компьютер.

 

Данные по вариантам

Вариант	а	b	x	y
	2,03	-1,670	0,970	0,504
	0,971	3,26	0,035	-1,061
	1,510	-1,84	1,115	0,234
	-0,193	-5,97	0,871	2,060
	3,112	0,786	2,06	-2,541
	-1,745	1,090	1,836	-2,541
	10,7	0,0836	0,755	-1,43
	3,07	-1,247	0,601	0,967
	-0,812	2,19	1,64	0,367
	2,410	-0,794	2.019	1,96
	8,345	0,16	0,967	-2,1:12
	-1,050	2,47	1,318	0,840
	0,189	-9,375	1,08	1,05
	-14,1	0,781	0,542	0,641
	3,56	1,086	2,12	-2,396

 

 

Результаты расчетов расположите в таблицах:

a		b		x		y

 

z1		z2		z3		z4		z

 

где z₁ = аb, z₂ = е^x, г₃ = z₁ - z₂, z₄ = sin у, z = z₃/z₄.

1. Заполните первую таблицу, определив абсолютные погрешно­сти исходных данных по известным верным значащим цифрам.

2. Оцените погрешности z₁ = ab, взяв для этого две-три знача­щие цифры произведения. Затем найдите верные значащие цифры z₁ и запишите ответ с одной сомнительной цифрой. Заполните вторую таблицу. Найдите верные значащие цифры результата.

 

Контрольные вопросы:

1. Источники погрешностей.
2. Виды погрешностей. Краткая характеристика.
3. Абсолютная и относительная погрешности.
4. Значащие цифры.
5. Правила округления чисел.

 

 

Задание №2

Отделите аналитически один из корней данного уравнения и уточните его с точностью до = 0,5 • 10^-5 следующими методами:

1) половинного деления;

2) итераций;

3) хорд;

4) касательных;

5) хорд и касательных.

Данные по вариантам

Вариант	Уравнение	Методы	Вариант	Уравнение	Методы
	2x3-Зx2-12x-5 = 0	1,2,5		x3 + Зx2-24х-10 = 0	1,2,5
	x3 – 3 х2 + 3 == 0	1,3,4		2x3 + 9x2-21 = 0	1,3,4
	х3 + Зx2 -2 = 0	1,2,4		х3+ Зх2 -3,5 = 0	1,2,4
	2x3-3x2-12x + 12 = 0	1,3,5		x3-4x2 + 2 = 0	1,3,5
	x3 + Зх2 -1 = 0	1,2,5		x3 + 3x2-24x + 1 =0	1,2,5
	x3-3х2-24x-3 = 0	1,3,4		2x3-3x2-12x+8 = 0	1,3,4
	x3-12x+6 = 0	1,2,4		2x3 + 9х2 -6 = 0	1,2,4
	x3- 3x2 + 2,5 = 0	1,3,5		x3+3x2-6=0	1,3,5

Порядок выполнения

1. Отделите корни уравнения и выберите один из отрезков изоляции, на котором выполняются условия применимости метода.

2. Составьте программу уточнения корня с точностью до е, которая выводила бы результаты в таблицу

п	хn	yn	f(x)	Еn
…	…	…		…

где х_п и у_п — приближения к корню, найденные соответствующим методом, Е_п — расстояния между ними, f(x)- значение левой части уравнения на i-том шаге.

 

 

Задание №3

Составить систему уравнений по данным своего варианта. Выполнить решение СЛАУ в Excel двумя способами (поиск решения, метод Гаусса в режиме формул).

Обозначения в таблице:

№ номер варианта

значения коэффициентов при неизвестном (i – номер уравнения)

значения коэффициентов при неизвестном (i – номер уравнения)

значения коэффициентов при неизвестном (i – номер уравнения)

значения правых частей системы уравнений (i – номер уравнения)

№
	2,34 8,04 3,92	-4,21 5,22 -7,99	-11,16 0,27 8,37	14,41 -6,44 55,56
		-1 -4 -1	-1 -1
			-5 -1
			-1 -2	-7
		-1	-6	-4
		-1	-9 -12
	3,43 74,4 3,34	4,07 1,84 94,3	-106,00 -1,85 1,02	46,8 -26,5 92,3
		-4 -6	-3
	0,06 0,99 1,01	0,92 0,01 0,02	0,03 0,07 0,99	-,082 0,66 -0,98
	-3 0,5 0,5	0,5 -6 0,5	0,5 0,5 -3	-56,5 -100 -210
		-2 -3	-8 -4	-12
		-1 -1	-2	-3
	-2	-3	-5 -3
	-3	-5	-5 -5

 

.

 

Задание №4

Тема: Интерполирование математических таблиц.

 

 

Дана таблица значений функции с верными цифрами:

 

		0,4	1,1024	0,8	1,5082	1,2	2,3881	1,6	3,9536
0,1	1,0053	0,5	1,1693	0,9	1,6763	1,3	2,7057	1,7	4,4823
0,2	1,0227	0,6	1,2575	1,0	1,8768	1,4	3,0696	1,8	5,0758
0,3	1,0543	0,7	1,3695	1,1	2,1130	1,5	3,4842	1,9	5,7396

 

 

1. Составьте программу, для вычисления приближенного значения функции в точках , с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 5 степени. (Для достижения наилучшей точности выберите узлы, расположенные симметрично относительно заданного значения ).
2. Сравните полученное значение со значением функции, вычисленным по ее аналитическому выражению, заданному в таблице.
3. Определите абсолютную погрешность вычислений. Все исходные данные и числа считаются точными числами.

 

Данные по вариантам.

Вариант
	0,38	1,02	1,15	1,22	1,36	0,59	0,63	0,71	0,85	0,96	0,12	0,23	1,58	0,44	0,06
	0,35	1,07	1,18	1,24	1,31	0,54	0,68	0,75	0,83	0,92	0,18	0,26	1,55	0,47	0,02

 

Необходимые сведения из теории.

1. Табличная функция.
2. Задача интерполирования табличной функции.
3. Теорема о единственности задачи полиномиального интерполирования.
4. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
5. Конечные разности таблиц.
6. Первый и второй интерполяционные многочлены Ньютона. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона.

Задание №5