Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций 
непрерывных на отрезке [ a, b ], называется ортогональной системой функции на отрезке [ a, b ], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f (x) - любая функция непрерывная на отрезке [ a, b ]. Рядом Фурье такой функции f (x) на отрезке [ a, b ] по ортогональной системе называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
N=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [ a, b ] ортонормированная, то в этом случаи
где n =1,2,...
Пусть теперь f (x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [ a, b ]. Рядом Фурье такой функции f (x) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
,
Если ряд Фурье функции f (x) по системе (1) сходится к функции f (x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [ a, b ]. В этом случае говорят что f (x) на отрезке [ a, b ] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение 
называется комплексной формой ряда Фурье функции f (x), если 
определяется равенством
,где 
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
(n =1,2,...)
Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x= 0 и x = l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u (x,t), характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
(1), где а - положительное число.
Наша з а д а ч а - найти функцию u (x,t), график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
(2)
и начальных условиях:
(3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u (x, t) 
0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u (x,t)= X (x) T (t), (4), где 
, 
.
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X (0)=0, X (l)=0, докажем, что 
отрицательное число, разобрав все случаи.
a) Пусть 
Тогда X ”=0 и его общее решение запишется так:
откуда 
и 
,что невозможно, так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
б) Пусть 
. Тогда решив уравнение
получим 
, и, подчинив, найдем, что 
в) 
Если 
то
Уравнения имеют корни:
получим:
где 
-произвольные постоянные. Из начального условия найдем:
откуда 
, т. е.
(n =1,2,...)
(n =1,2,...).
Учитывая это, можно записать:
(N=1,2,...).
и, следовательно
, (n =1,2,...),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
, (n =1,2,...),
где 
и 
произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u (x,t) начальным условиям, т. е. подберем 
и 
так, чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются соответственно разложениями функций 
и 
на отрезки [0, l ] в ряд Фурье по синусам. (Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
где
(n =1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f (x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на 
(т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [- L, L ] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где 
,
.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f (x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что 
, а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x =0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f (x) запишется так:
,
где a (u) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f (x):
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b (u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f (x).
Если в формуле (5) заменить c (u) его выражением, то получим:
, где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n =1,2,..., k =1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье - называется N -мерный вектор 
при этом, 
.
Глава 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ