Ход урока
Организующее начало урока.
Выявление имеющихся знаний и умений.
1. а) Что такое корреляционная зависимость?
б) Что такое корреляционный анализ?
в) Какие типы задач можно решать с помощью корреляционного анализа?
г) Какая величина является количественной мерой корреляции? Какие значения она может принимать?
2. С помощью какого средства табличного процессора можно вычислить коэффициент корреляции?
Изучение нового материала.
Решение задачи оптимального планирования в MS Excel.
Объектами планирования могут быть самые разные системы: деятельность отдельного предприятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, региона, наконец, государства.
Постановка задачи планирования выглядит следующим образом:
• имеются некоторые плановые показатели: х, у и другие;
имеются некоторые ресурсы: R1, R2 и другие, за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты. Эти ресурсы практически всегда ограничены; имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений х, у и других плановых показателей, на которую следует ориентировать планирование.
Нужно определить значение плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели. Это и будет оптимальным планом.
Рассмотрим пример, из которого вы получите представление об одном из подходов к решению задачи оптимального планирования.
Пусть совхоз занимается возделыванием только двух культур — зерновых и картофеля — и располагает следующими ресурсами: пашня — 5000 га, труд — 300 тыс. чел.-ч, возможный объем тракторных работ — 28 000 условных га.
Цель производства—получение максимального объема валовой продукции (в стоимостном выражении).
Найдите оптимальное сочетание посевных площадей культур.
Решение.
Этап I. Для составления математической модели воспользуемся нормативами затрат и выхода продукции для данного совхоза.
Таблица 10
| Культуры | Затраты на 1 га посева | Стоимость валовой продукции с 1 га, р. | |
| труда, чел.-ч | тракторных работ, усл. га | ||
| Зерновые Картофель |
Критерием оптимальности является максимум стоимости валовой продукции. Этот максимум должен достигаться в условиях использования ограниченных ресурсов пашни, труда и механизированных работ.
Задача является многовариантной, так как имеется множество допустимых вариантов сочетания посевных площадей двух культур, но не все они равнозначны с точки зрения требования оптимальности.
Допустим, что примем решение всю площадь засеять картофелем, который обеспечивает наибольший выход валовой продукции с 1 га. Но для возделывания картофеля на площади 5000 та потребуется 150·5000 = 750 000 Чел.-ч., а мы такими ресурсами не располагаем. Ясно, что такое решение не является приемлемым. Если же засеем всю площадь зерновыми, объем валовой продукции не окажется наибольшим, да и значительная часть трудовых ресурсов не будет использована.
Для поиска оптимального решения задачи обозначим через х1 -га площадь, отводимую под зерновые, а через х2 га — площадь, отводимую под картофель. Тогда стоимость зерновых составит 400 х1 р., а стоимость картофеля — 1000 х2 р. Отсюда стоимость всей валовой продукции составит (400 х1 + 1000 х2) р. Обозначим это выражение через у и назовем его целевой функцией:
у = 400 х1 + 1000 х2
Нам надо найти максимум этой целевой функции при соблюдении следующих условий:
а) общая площадь зерновых и картофеля не должна превышать 5000 га, т. е. х1 + х2≤5000;
б) общие затраты труда не должны превосходить 300 тыс. человеко-часов, т. е. 30 х1 + 150 х2≤ 300 000;
в) общий объем механизированных работ не должен превосходить 28 000 усл. га, т. е. 4 х1 + 12 х2≤28 000;
г) площади, отводимые под зерновые и картофель, могут принимать только неотрицательные значения: х1≥0 и х2 ≥0.
Таким образом, условия задачи выражаются следующей системой неравенств
Требуется найти такие значения х1 и х2, при которых целевая функция у = 400 х1 + 1000 х2 принимает наибольшее значение.
х1≥0 и х2 ≥0xi^O и х2^0.
Этап II. Решим задачу графически.
Построим прямую х1 + х2=5000. Координаты всех точек треугольника LOK удовлетворяют неравенству х1 + х2≤5000.
Построим прямую 30 х1 + 150 х2=300 000. Координаты всех точек треугольника АОС удовлетворяют неравенству 30 х1 + 150 х2≤ 300 000.
Построим прямую 4 х1 + 12 х2=28 000. Координаты всех точек треугольника BOD удовлетворяют неравенству 4 х1 + 12 х2≤28 000.
Неравенствам х1≥0 и х2 ≥0 удовлетворяют все точки I четверти координатной плоскости х10х2.
Любая точка многоугольник» АЕМКО удовлетворяет системе неравенств. Для нахождения наибольшего значения целевой функции найдем ее значения в вершинах многоугольника АЕМКО.
Таким образом, наибольшее значение целевой функции достигается в вершине М, что соответствует варианту плана, по которому под зерновые отводится 4000 га, а под картофель — 1000 га.
В связи с тем что введение понятия о линейном программировании в массовой школе не предусмотрено, такая задачу мы можем выполнить используя средство «Поиск решения» которая реализована в MS Ехsel.
3. Практическая работа
«Решение задачи оптимального планирования в MS Excel»
Цели работы:
• получение представления о построении оптимального плана методом линейного программирования;
• практическое освоение раздела MS Excel «Поиск решения» для построения оптимального плана.
Средство, о котором идет речь, называется «Поиск решения». Соответствующая команда находится в меню Сервис. «Поиск решения» — одно из самых мощных средств ТП Excel, и мы не будем даже пытаться освоить все его возможности. Покажем на рассмотренном нами простейшем примере («зерно и картофель»), как воспользоваться указанным средством.
Вначале надо подготовить электронную таблицу к решению задачи оптимального планирования. В режиме отображения формул таблица показана на рис. 2.20. Ячейки В5 и С5 зарезервированы соответственно для значений х1 га(площадь отведенная для посевов зерна) и х2га(площадь отведенная под картофель). Ниже этих ячеек представлена система неравенств (а), определяющая ограничения на искомые решения. Неравенства разделены на левую часть (столбец В) и правую часть (столбец D). Знаки неравенств в столбце С имеют чисто оформительское значение. Целевая функция (Р) занесена в ячейку В15. 
Теперь следует вызвать программу оптимизации «Поиск решения» и сообщить ей, где расположены данные. Для этого надо выполнить команду => Сервис => Поиск решения. На экране откроется соответствующая форма (рис. 2)
Далее надо выполнить следующий алгоритм:
1. Ввести координату ячейки с целевой функцией. В нашем случае это В15. (Заметим, что если перед этим установить курсор на ячейку В15, то ввод произойдет автоматически).
2. Поставить отметку «максимальному значению», то есть сообщить программе, что нас интересует нахождение максимума целевой функции.
3. В поле «Изменяя ячейки» ввести В5:С5, то есть сообщить, какое место отведено под значения переменных -плановых показателей.
4. В поле «Ограничения» надо ввести информацию о неравенствах-ограничениях, которые имеют вид B10<=D10; B1K=D11; B12>=D12; B13>=D13. Ограничения вводятся следующим образом:
=> щелкнуть по кнопке «Добавить»;
в появившемся диалоговом окне «Добавление ограничения» ввести ссылку на ячейку В10, выбрать из меню знак неравенства <= и ввести ссылку на ячейку D10; снова щелкнуть по кнопке «добавить» и аналогично ввести второе ограничение B11<=D11 и так далее. В конце надо щелкнуть на кнопке ОК.
5. Закрыть диалоговое окно «Добавление ограничения».
Снова появится форма «Поиск решения» (рис. 3).
6. Теперь надо дать последние указания: задача является линейной (это многократно облегчит программе ее решение). Для этого следует щелкнуть по кнопке «Параметры» — появится форма «Параметры поиска решения» (рис. 4).
7. Надо выставить флажок на переключателе «Линейная модель» Остальная информация в форме «Параметры поиска решения» служебная, автоматически устанавливаемые значения нас устраивают и вникать в их смысл мы не будем. Следует щелкнуть по кнопке ОК, что возвратит нас в форму «Поиск решения».
Вся информация введена. Далее надо щелкнуть по кнопке «Выполнить» — мгновенно в ячейках В5 и С5 появится оптимальное решение (числа 4000 и 1000), а также число 2600000 в ячейке В16 — максимальное значение целевой функции (рис. 5).
Этап III. Оптимальное сочетание посевных площадей культур: зерновые — 4000 га, картофель—1000 га. Существенно провести экономический анализ оптимального решения задачи.
При х1=4000 и х2=1000 х1 + х2=5000, а это значит, что пашня используется полностью.
4 х1 + 12 х2≤ 300 000= 4·4000+ 12·1000 = 28 000. Это означает, что ресурсы тракторного парка используются полностью.
30 х1 + 150 х2= 30·4000+150·1000 = 270 000. Мы выяснили, что трудовые ресурсы недоиспользованы на 30 000 чел.·ч. Полное использование трудовых ресурсов сдерживается ограниченностью пашни и мощностью тракторного парка. Как видим, для рассмотренного в задаче совхоза ресурсы имеют разную ценность: человеческих рук в избытке, а механизированный труд дефицитен.
5. Закрепление новой темы по вопросам:
1) В чем состоит задача оптимального планирования?
2) Что такое плановые показатели, ресурсы, стратегическая цель? Приведите примеры.
3) Попробуйте сформулировать содержание оптимального планирования своей учебной деятельности.
4) Что такое математическое программирование, линейное программирование?
6. Д/З § 20
Список используемой литературы:
1. Семакин И.Г Учебник Информатика и ИКТ. Базовый уровень 10-11 класс.. М. Бином.
2. И.М. Шапиро. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. М. Просвещение 1990 г.