Элементные вектора и матрицы. Элементные вклады в систему МКЭ

Лекция 3. Система уравнений МКЭ

Сетка МКЭ

Покроем область сеткой конечных элементов , , так чтобы .

Тогда . Звёздочка означает, что при интегрировании по границе в сумму входят лишь те конечные элементы , границы которых хотя частично лежат на границе области .

Рассмотрим отдельный конечный элемент. Например это многоугольник. Пусть он имеет узлов. Тогда можно ввести базисные функции этого элемента . Эти функции линейно независимы и нормированы так, что . Произвольная функция на элементе может быть представлена разложением по базису

(3.1)

Индекс обозначает принадлежность к -му элементу. В дальнейшем, если это не приводит к недоразумениям, индекс часто будем опускать. Индекс используется для локальной нумерации узлов конечного элемента. Следует отметить, что локальные узлы элемента могут совпадать с вершинами многоуголника , а могут и не совпадать с ними, как показано на рис. 3.1. Наряду с локальной вводят сквозную глобальную нумерацию узлов. Соответствие локальных и глобальных номеров, их координаты, а также связность (т.е. указание, какие узлы образуют элемент) задаётся с помощью двух основных таблиц, которые представляют МКЭ-сетку.

Рис. 3.1. Трехузловой, шестиузловой и десятиузловой
треугольные конечные элементы

Таблица 1. Узлы

№	x	y	b	z
i
N

Поле (bound) используется, чтобы отличить внутренние узлы () от граничных (). Признак позволяет в программе, использующей эту сетку, задавать нужное граничное условие; например, если , ‑ то это условие Дирихле, если , ‑ то ставится условие Неймана, и т.д. на разных участках границы . Поле (zone) используется, чтобы задавать различные функции для коэффициентов решаемой задачи; например коэффициент теплопроводности в композитных материалах: ‑ сталь, ‑ аллюминий и т.д.

Таблица 1 не позволяет нарисовать МКЭ-сетку, а только узлы. Это значит, что требуется еще одна таблица элементов, или таблица связности, в которой указывались бы связи узлов ребрами и то, какие узлы образуют элемент.

Таблица 2. Элементы

Строка таблицы элементов показывает, что конечный элемент ‑ это треугольник с вершинами в узлах 213, 45 и 41246 и расположенный в зоне 3. Таким образом, эта таблица указывает соответствие локальных и глобальных номеров узлов. При этом локальный порядок нумерации определен заранее, например как показано на рис. 3.1. Принято, чтобы «основные» узлы элемента, т.е. узлы, совпадающие с вершинами многоугольника, нумеровались против хода часовой стрелки.

С томощью двух таблиц – узлов и элементов – легко нарисовать МКЭ-сетку. Для этого в цикле рисуем каждый элемент. Конечный элемент рисуется так: в строке таблицы 2 последовательно берутся глобальные номера , для каждого из них в строках таблицы 1 берутся координаты и узлы соединяются ребрами в порядке . Таким образом, таблицы узлов и элементов однозначно определяют МКЭ-сетку. На практике наряду с этими таблицами удобно пользоваться таблицами инцидентности (или таблицами соседей). Так, для фрагмента сетки, показанной на рис. 3.2 таблицы 3, 4 инцидентых узлов и элементов выглядят так (заполнены только 1-я и 19-я строки)

Рис. 3.2. Фрагмент МКЭ-сетки

Таблица 3. Инцидентные узлы

Таблица 4. Инцидентные элементы

Элементные вектора и матрицы. Элементные вклады в систему МКЭ

Преобразуем интегральное тождество (2.19) на МКЭ-сетке

(3.2)

заменяя интегралы суммой интегралов по элементов и используя разложения функций по базису (3.1) внутри каждого элемента

(3.3)

Здесь ‑ элементные вектора. Начнем с первого интеграла в (3.2).

(3.4)

Здесь квадратная матрица размерности (число узлов элемента ) называется элементной матрицей масс. Отметим некоторые её свойства. Во-первых, по построению она симметрична. Во-вторых, в обшем случае она будет заполненной (примеры будут рассмотрены ниже), но если воспользоваться квадратурной формулой численного интегрирования по узлам вида

,

где ‑ полощадь (объем) элемента , то в силу свойства базисных функций получаем диагональную матрицу масс .

Перейдем к преобразованию интеграла

(3.5)

Здесь квадратная симметричная матрица размерности называется элементной матрицей жесткости.

Интеграл по границе вычисляется следующим образом.

(3.6)

Принципиальное отличие коэффициентов от элементов матрицы масс (3.4) в том, что интегрирование в (3.6) ведется не по площади элемента , а лишь по той части его границы, которая лежит на границе области . При этом из-за свойства среди всех коэффициентов будут отличны от нуля лишь те, для которых одновременно и . Например, для линейного треугольного элемента, показанного на рис. 3.3, элементная матрица будет иметь следующую структуру

(3.7)

Рис. 3.2. К подсчету интеграла по границе

Перейдем к преобразованиям интегралов в правой части интегрального тождества (3.2). В первом из них обозначим , тогда, точно так же, как (3.3) получаем

, (3.8)

где ‑ матрица масс, определенная в (3.4), а вектор называется вектором сил или нагрузок.

Наконец, интеграл по границе вычисляется так:

(3.9)

Для примера на рис. 3.2 вектор равен .

Итак, интегральное тождество (3.2) можно переписать в виде суммы элементных вкладов:

(3.10)