Содержание дисциплины «Основы теории управления». 2 семестр
1. Нелинейные системы управления: основные понятия
Особенности нелинейных систем и их отличие от линейных. Условия линейности системы. Основные математические и структурные модели нелинейных систем. Общая структура нелинейной системы.
Основные специфические свойства НЛС. Неограниченный рост сигнала в ограниченное время. Зависимость поведения от начальных условий. Особые точки (точки равновесия). Самовозбуждение колебаний и предельные циклы. Неоднозначность динамических характеристик. Неоднозначность резонансной кривой и скачок амплитуды в резонансе. Синхронизация. Бифуркации и структурная нестабильность. Хаос.
Устойчивость и особые точки НЛС. Аттракторы и репеллеры.
Основные свойства нелинейных функций: нелинейности процесса управления, нелинейности систем. Классификация нелинейностей.
Типовые нелинейные элементы. Нелинейные элементы с однозначными непрерывными характеристиками: мертвая зона, насыщение, насыщение с мертвой зоной. Нелинейные элементы с однозначными разрывными характеристиками: двухпозиционное реле без гистерезиса, трехпозиционное реле без гистерезиса, идеальное двухпозиционное реле. Нелинейные элементы с двухзначными характеристиками: двухпозиционное реле с гистерезисом. Люфт., сухое трение.
Методы линеаризации нелинейных систем
Методы линеаризации. Графические методы: метод касательных, метод секущих. Алгебраические методы: замена функций линейной аппроксимацией. Аналитическая линеаризация в окрестности рабочей точки. Вычисление коэффициентов линеаризации методом наименьших квадратов. Гармоническая линеаризация. Эквивалентная линейная система. Определение параметров колебаний на выходе эквивалентной системы. Эквивалентный коэффициент усиления. Описывающая функция и разложение в ряд Фурье. Примеры вычисления коэффициентов гармонической линеаризации для однозначных и многозначных нелинейностей: петля гистерезиса, двухпозиционное реле.
Фазовые траектории в анализе динамики нелинейных систем
Основные определения: фазовое пространство, фазовый портрет, изображающая точка, фазовая траектория. Элементы фазовых портретов нелинейных систем: предельные циклы, сепаратрисы. Перестройка фазового портрета – бифуркация. Классификация локальных структур фазового портрета через линейный анализ в окрестности исследуемой особой точки: узлы, центр, фокусы, седло. Фазовые траектории нелинейных систем — 4 класса траекторий (область устойчивых движений, область устойчивых автоколебаний, область неустойчивых движений, область сложной динамики). Способы построения фазовых траекторий и фазовых портретов: численное моделирование с применением нескольких способов.
«Склеенные» многолистные динамические системы, скользящие режимы.
Проявление эффектов бифуркационной памяти в поведении динамической системы: слияние с исчезновением устойчивого и неустойчивого циклов, вынужденные колебания нелинейного осциллятора, бифуркация слияния точек узел-седло. Осциллятор Дуффинга: особенности поведения и анализа системы при наличии ограничителей движения.
Устойчивость и неустойчивость нелинейных систем
Ляпуновские характеристические показатели. Устойчивость по Лагранжу. Устойчивость по Пуассону и возвраты Пуанкаре. Периодические, квазипериодические и хаотические движения.
Предельные циклы и связанные с ними теоремы.
Устойчивость по Ляпунову. Анализ фазовой траектории на устойчивость по линейному приближению и теорема Ляпунова. Ляпуновские характеристические показатели (ЛП): спектр, пример вычисления для особой точки, связь с линейной системой, геометрический смысл ЛП. Эргодическая теорема Оселедеца. ЛП аттракторов: определение аттракторов, их виды, правило сигнатур (знаков ЛП). Алгоритм вычисления старшего ЛП. Карты ЛП и их применение к анализу поведения нелинейных систем.
Понятие об адаптивных системах управления. Общие принципы построения адаптивных систем управления.
Принципы управления с помощью ЭВМ.
Иерархическая структура управления. История применения управляющих вычислителей. Квантование сигналов. Замкнутый контур управления с ЭВМ. Проектирование цифровых систем управления, задачи, методы, общая схема.
Дискретные системы управления.
Дискретные функции и разностные уравнения. Пример преобразования экспоненциальной функции из непрерывной в дискретную. Представление неявной функции в виде разностного уравнения. Разностные уравнения: левые и правые производные, пример дискретизации уравнения первого порядка. Решетчатые функции.
Применение преобразования Лапласа для анализа дискретных функций времени. Преобразование Лапласа. Теорема Котельникова (прерывания, Шеннона). Спектр дискретного сигнала, нупольный портрет дискретной системы. Фиксирующий элемент (экстраполятор нулевого порядка).
z-преобразование. Переход к z-преобразованию импульсного сигнала. Обратное z-преобразование.
Дискретная передаточная функция. Пример вычисления дискретной передаточной функции апериодического звена. Общее выражение для дискретной передаточной функции. Свойства дискретной передаточной функции: статические системы, системы с астатизмом, реализуемость, связь с импульсной переходной функцией, последовательное соединение подсистем.
Полюса передаточной функции и анализ устойчивости. Расположение действительных полюсов на плоскости z и порождаемые ими переходные процессы. Условие асимптотической устойчивости. w (билинейное) преобразование и алгебраические критерии устойчивости для цифровых систем.
Апериодические регуляторы различных порядков. Дискретные ПИД-регуляторы и их модификации. Способы настройки параметров ПИД-регуляторов.