Логарифмические неравенства
Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.
Давайте повторим, что такое логарифмы:
Логарифм положительного числа 
по основанию 
— это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
При этом 
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Алгоритм решения логарифмических неравенств
Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду 
Знак здесь может быть любой: 
Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.
И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени 
, знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что 
знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения 
.
Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение 
Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.
Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.
1. Рассмотрим неравенство log3x > log35.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.
Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»
Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?
Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?
Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log3x1 > log3x2 следует, что x1 > x2.
Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.
Итак, x > 5.
Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.
2. log5(15 + 3x) > log52x
Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому
Решая эту систему, получим: x > 0.
Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.
15 + 3x > 2x.
Получаем: x > −15.
Итак,
Ответ: x > 0.
А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.
Приведем пример.
3. 
Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть
Решая эту систему, получим: x > 4,5.
Поскольку 
, логарифмическая функция с основанием 
монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:
И если 
, то
2x − 9 ≤ x.
Получим, что x ≤ 9.
Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:
x ∈ (4,5; 9].
Вообще, решение логарифмических неравенств это всегда система неравенств, по крайней мере, двух или больше, где первое неравенство это то, что получается. если отбросить знак log, следующие, когда накладывают ограничения на выражения, стоящие под знаком логарифма.
Общее решение находит, изображая решения неравенств системы на одной координатной прямой.
Домашнее задание:
Решить неравенства:
а) log2(2x+8)≥4
б) log0,5(5-2x)≤-3