б) Правило треугольника.

I. Изучение нового материала

На рисунке 21, а, б девочка дей­ствует на санки силой, имеющей одно и то же числовое значение. Но в пер­вом случае санки лишь сильнее погру­зились в снег, а во втором — пришли в движение. Значит, сила определяется не только числовым значением, но и направлением. Сила — величина век­торная.

Векторной величиной является и скорость движения (подумайте почему), и многие другие физические величины.

Что нужно знать о векторных величинах?

Векторные величины (векторы) характеризуются числовым значением и направлением в пространстве.

Вектор изображают в виде направленного отрезка (стрелки). Стрелка указы­вает, куда направлен вектор. Длина стрелки определяет числовое значение век­тора (рис. 22).

Вектор обозначают буквой, над которой поставлена стрелка, например . Его можно обозначить также двумя буквами со стрелкой над ними, например , где точка А — начало вектора, точка В — конец вектора (см. рис. 22).

Числовое значение вектора называется модулем.

Модуль вектора обозначают буквой без стрелки или символом |…| Например, на рисунке 22 модуль вектора равен

а = | | = | | = 4.

Модуль любого (не равного нулю) вектора — число положительное.

 

2.Векторы равны между собой, если рав­ны их модули и одинаковы их направления.

Равные векторы лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых и направле­ны в одну и ту же сторону. На рисунке 23 , Однако , хотя модули векторов и одинаковы. Одного только равенства модулей для равенства векторов недостаточно!

Угол между векторами.

Чтобы найти угол jмежду векторами (рис. 24, а), нужно совместить начала этих векторов (рис. 24, б). Если направ­ления векторов одинаковы, то j = 0° (рис. 24, в), если противоположны, то j= 180° (рис. 24, г).

Умножение вектора на число.

Произведение вектора на число b есть вектор . Чему равен модуль вектора ? Куда он направлен?

• Модуль вектора равен = |b| • а.

• Направление вектора совпадает с направлением вектора , если b > 0, и противоположно вектору а, если b < 0.

Рассмотрите внимательно рисунок 25. Вы увидите, что, умножив вектор а на 2, мы увеличили его в два раза, а умножив на 0,5, — в два раза уменьшили (см. рис. 25, а, б). При умножении на (-3) модуль вектора увеличивается в три раза и вектор поворачивается на 180° (см. рис. 25, а, в).

Противоположные векторы.

Вектор d называется противоположным вектору а, если d = -а. У векторов d и а одинаковые модули, но противопо­ложные направления (см. рис. 25, а, г).

Сложение векторов.

Если векторы а и b направлены одинаково, то их сумма — это вектор с того

же направления, имеющий модуль с = а + b (рис. 26, а).

Если же направления векторов а и b противоположны (рис. 26, б), то их сумма — вектор с направлен так, как вектор, модуль которого больше. При этом модуль вектора с равен разности модулей слагаемых векторов.

А как сложить векторы, направленные под любым углом друг к другу?

А) Правило параллелограмма.

Совместим начала векторов а и b (рис. 27, а). Построим параллелограмм ABCD, принимая векторы a и b за его стороны. Суммой векторов а и b является вектор с, совпадающий с диагональю АС параллелограмма:

с = a+ b.

б) Правило треугольника.

Совместим конец вектора а и начало вектора b (рис. 27, б). Вектор с,

проведенный из начала вектора а в конец вектора b, равен сумме а + b.

Вычитание векторов.

Совместим начала век­торов а и b (рис. 28). Проведем вектор d из конца вычитаемого вектора b в конец уменьшаемого вектора а (см. рис. 28). Вектор d есть искомая разность:

d = а -b.

Правило многоугольника.

Чтобы найти сумму нескольких векторов (например, , , , а ₄), каждый следующий вектор нужно прово­дить из конца предыдущего (рис. 29).

 

Замыкающий вектор с, проведенный из начала первого вектора a, в конец последнего а₄ есть сумма данных векторов: с = + а₂ + + . Такой спо­соб сложения называется правилом многоугольника. Оно следует из правила треугольника.

II. Закрепление знаний

Главные выводы:

1. Векторные величины характеризуются числовым значением и направле­нием, скалярные — только числовым значением.

2. Сумму двух векторов находят по правилу параллелограмма или тре­угольника.

3. Разность двух векторов находят, проводя вектор из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого (при совмещенных началах векторов).

4. Разность векторов а -b можно найти как сумму а + (-b).

5. Произведение вектора а на число b есть вектор b = ba. Его направ­ление совпадает с направлением вектора а, если b > О, и противоположно вектору а, если b < 0. Модуль вектора b равен b = |b| • а.