Функция распределения.
В соответствии с определением случайной величины вводится числовая функция F (x), определенная для каждого действительного x и по определению равная вероятности наступления события: 
.
Множества вида 
, 
, 
, 
являются событиями.
Свойства функции распределения.
Пусть F (x) – функция распределения случайной величины 
1) 
;
2) 
;
3) F (x) – неубывающая функция;
4) F (x) непрерывна слева;
5) 
.
Построим функцию распределения для ДВС. По определению
.
График функции распределения ДВС
Рисунок 1
|
т.е. для любого действительного х значение F (x) численно равно вероятности наступления следующего события: в результате испытаний над X она приняла значение строго меньшее x. Эта функция является кусочно-постоянной (ступенчатой), ее график см. на рисунке 1.
6. Непрерывные случайные величины.
Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность всех точек числовой оси. Случайная величина X называется непрерывно распределенной (или непрерывной), если ее функция распределения является непрерывной. Для непрерывной случайной величины примем сокращение НСВ.
Примеры.
X – время безотказной работы телевизора.
X – рост взрослого человека.
Пусть X – НСВ. Тогда P (X = a)=0.
В случае ДСВ вероятность P (X = a) не всегда равна нулю.
Плотность распределения вероятности НВС.
Для НСВ удобнее закон распределения задавать при помощи плотности распределения вероятности. Плотностью распределения вероятности НСВ Х называется предел (если он существует)
.
Таким образом, плотность распределения является первообразной для функции распределения.
Свойства плотности вероятности.
1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией.
Действительно, производная неубывающей функции неотрицательна.
2. 
. Это следует из того, что плотность распределения является первообразной для функции распределения.
3. 
. Это следует из формулы Ньютона-Лейбница.
4. 
. Это свойство называется свойством нормировки.
Равномерное распределение.
Случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если ее плотность распределения имеет вид
Равномерное распределение будем обозначать R(a, b).
Рисунок 2
|
График плотности и функции распределения приведены на следующих рисунке 2.
Показательное распределение.
Экспоненциальное (или показательное) распределение имеет плотность распределения вида
Показательное распределение будем обозначать E(l).
Из практики известно, что время безотказной работы телевизора распределено по показательному закону. Смысл параметра l в том, что число 1/ l равно среднему времени безотказной работы телевизора.
Рисунок 3.
|
10. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Пусть имеется НСВ X с плотностью распределения f (x).
Математическим ожиданием НСВ X называется число
.
Смысл математического ожидания заключается в следующем: это вероятностное среднее значение случайной величины.
Дисперсией НСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
.
Смысл дисперсии в том, что она является мерой рассеяния значений случайной величины от математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений от математического ожидания.
Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется число 
.
Эта величина более точно характеризует степень рассеяния значений случайной величины от математического ожидания, чем дисперсия.