Случайные величины.
Основные понятия и определения.
При рассмотрении случайных событий иногда мы сталкивались с событиями, состоящими в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости (кубика) могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.
Случайной называют числовую функцию 
, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, с определенной вероятностью.
Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные
Значения: 0, 1, 2,.... 100.
Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия есть случайная величина.
Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами х, у, z. Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x 1, x 2, x 3.
2. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Вернемся к примерам, приведенным выше. В первом из них случайная величина Х могла принять одно из следующих возможных значений: О, 1, 2,..., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором - случайная величина могла принять любые из значений некоторого числового промежутка. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.
Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Дадим более точное определение:
Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.
Остановимся на дискретной случайной величине.
3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности - это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их появления — различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Заданное соответствие между возможными значениями ДСВХ и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:
| Х | x1 | x2 | … | xn |
| р | p1 | p2 | … | pn |
Эта таблица называется рядом распределения.
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события Х=х1, Х=х2, …, Х=хn - образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:
Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд
