Расчет токов и напряжений в простых цепях
1.1. За одну минуту через поперечное сечение проводника прошел заряд 100 Кл. При этом первые 10с сила тока равномерно возрастала от 0 до некоторой величины I, а последние 10с равномерно уменьшалась до 0. Найдите I.
(I=2)
1.2. Через нить лампочки от карманного фонаря проходит заряд q=0,2Кл за время t=1с. Какова сила тока в лампочке (в амперах, миллиамперах и микроамперах)?
1.3 Автомобильный электродвигатель – стартер в течении t=3с работал от батареи аккумуляторов при силе тока I1=150А. Когда автомобиль двинулся в путь, генератор стал подзаряжать аккумуляторыпри силе токаI2=4,5А.За какое время восстановится прежнее состояние батареи?
(t=100c)
1.4 Определите неизвестные параметры цепи (индексы токов и напряжений соответствуют индексам резисторов, I0и U0–ток и напряжение на резисторе).
1. 5. В проводнике поперечного сечения течет ток. Одинаково ли напряженность электрического поля на участках ABи BC? Одинакова ли средняя скорость направленного движения электронов проводимости на обоих участках? Одинакова ли сила тока на этих участках? Приближенно нарисуйте график разности напряжений Ux-Ua, где A<x<C. Ответы обосновать.
1.6. Гальванический элемент с ЭДС 15В и внутренним сопротивлением 1Ом замкнут на сопротивлении 4Ом. Найдите силу тока в цепи.
(I=3)
1.7. В электрическую сеть включены последовательно плитка и реостат, сопротивления которых равны 50 и 60Ом соответственно. Определите напряжение на реостате, если напряжение на плитке 75В.
(U=90)
1.8. Внутреннее сопротивление батареи с ЭДС 3,6 В равно 0,1 Ом. К батареи подключены параллельно 3 лампочки с сопротивлением по 1,5 Ом каждая. Найдите разность потенциалов на клеммах батареи.
(U-3)
1.9. Как изменится показания амперметра и вольтметра V1, если ползунок реостата переметить из крайнего правого положения в крайнее левое?
1.10. Амперметр A показывает силу тока I=1,6А при напряжении U=120 B. Сопротивление R1=100Ом. Определить сопротивление R2и показания амперметров А1 и А2.
(R2=300ОмIA1=1,2A, IA2=0.4A)
1.11. Школьница Алиса и Василиса решили изготовить самодельные вольтметрыиз имеющихся в школьной лаборатории миллиамперметров. Алиса соединила миллиамперметр последовательно с резистором с сопротивлением R1=1кОм и приклеила на прибор шкалу напряжений, показывающую произведение текущего через амперметр тока Iна R1. Василиса собрала ту же схему, используя другой резистор с сопротивлением R2=2кОм, и приклеила шкалу, показывающую произведение Iна R2. Школьницы решили испытать свои приборы, подключив их к схеме, изображенной на рисунке, с неизвестным напряжением батарейки и неизвестными сопротивлениями резисторов. Прибор Алисы при подключении контактом 1 и 2 показал напряжение U12=1,8В, к контактам 2-3 – напряжение U23=1,8В, к контактам 1-3 U13=4,5В. Что покажет прибор Василисы при подключении к тем же парам контактов? Внутренним сопротивлением батарейки и резистора пренебречь.
(U12= U23= 2В, U13=4,5В)
Домашнее задание/сборы
Найдите силу тока, текущего через сопротивление R5, если R1=R2=R3=R4=10 Ом, R5= 3 Ом, U=12 В. Найдите также общее сопротивление цепи.
Решение:
Приведенную в условии схему можно перерисовать так, как показано на рисунке. Получившаяся эквивалентная цепь представляет собой мостовую схему, состоящую из одинаковых резисторов с сопротивлениями R1=R2=R3=R4=10 Ом. Так как схема симметрична, то разность потенциалов между точками А и В равна нулю. Поэтому ток через сопротивление R5 также равен нулю.для того чтобы найти общее сопротивление цепи заметим, что сила тока, текущего через сопротивления R1 иR2 равна 
. Такой же ток течет через резисторы R3 иR4, следовательно ток, текущей через источник напряжения, равен 
, а общее сопротивление цепи составляет 
1.12 В цепь включены последовательно три проводника сопротивление R1=5 Ом, R2=6 Ом, R3=12 Ом. Какую силу тока показывает амперметр и каково напряжение между точками А и В, если показание вольтметра U=1,2 В?
(I=0.2A)
1.13. В схеме, изображенной на рисунке все вольтметры одинаковые, а их внутреннее сопротивление много больше остальных сопротивлении в цепи. Найдите показания вольтметров, если сопротивление каждого из резисторов R=10 Ом, а напряжение на входе U=4,5 В.
1.14 На рисунке изображена схема электрической цепи, состоящая из источника постоянного напряжения U0, резисторов с одинаковым сопротивлением R, идеального вольтметра и идеального амперметра. Показания вольтметра UV=16В и амперметра IA=24мА. Определите напряжение источник U0
1.15 Лампочку, рассчитанную на напряжение 2,5 В и ток 0,2 А, подключают длинными проводами к батарейке. Амперметр, включенный последовательно с лампочкой, показывает ток 0,2 А. Когда лампочку подключили параллельно с проводами к амперметру, она накалилась так же, как и в первом случае. Какой ток Ix показывает амперметр? Батарейку считать идеальной, сопротивление проводов равно 2 Ом.
Решение:
При последовательном соединенииамперметр показывает ток, текущий через лампу. По условию задачи ток через лампу равен номинальному току Iн=0,2 А, на который рассчитана лампа. Следовательно, напряжение на лампе равно номинальному значению Uн=2,5 В. Тот факт, что при параллельном соединении лампы и амперметра лампа накалилась также, как и в первом случае, означает, что ток, текущей через лампу равен номинальному и напряжение на лампе и на амперметре равно номинальному.
Запишем закон Ома для обоих случаев соединения.При последовательном соединении(рис.а)
(1)
где R-сопротивление проводов, r- сопротивление амперметра. При параллельном соединении(рис. б)
(2)
где Ix-ток, текущей через амперметр. Учитывая, что rIx=Uн, преобразуем уравнение (1):
(2’)
Решая совместно уравнения (1’) и (2), находим ток Ix, текущий через амперметр при параллельном соединении лампы и амперметра:
Расчет сопротивлений простых соединений
Теория: доказательство для 2, 3-ех и N последовательных/параллельных сопротивлений.
2.1. Четыре одинаковых сопротивления, каждое из которых равно r, соединяют различными способами, как показано на рисунках. Определить эквивалентное сопротивление во всех случаях.
2.2 Опредлите полное сопротивление показанной на рисунке цепи, если R1=R2=R5=R6=3Ом; R3=20 Ом; R4=24 Ом. Определите силу тока. Идущего через каждый резистор, если к цепи приложено напряжение U=36 В.
2.3 Определить общее сопротивление схем, изображенных на рисунке.
2.4. Определите эквивалентное сопротивление участка цеп между контактами А и В, если R=4 кОм.
2.5. Определите эквивалентное сопротивление участка цепи между контактами Аи В, если R=18 кОм
2.6. Общее сопротивление двух последовательно соединенных проводников R1= 5 Ом, а параллельно соединенных – R2 = 1,2 Ом. Определить сопротивление каждого проводника.
2.7. Сопротивление одного из двух последовательно включенных проводников в n раз больше сопротивления другого. Во сколько раз k изменится сила тока в цепи (напряжение постоянно), если проводники включить параллельно?
2.8. Какие сопротивления можно полчить, имея три резистора по 6 кОм?
2.9. Из проволоки сопротивлеие R=25 Ом сделано кольцо. Где следует присоединить провода, подводящие ток, чтобы сопротивление кольца было r = 4 Ом? Длина проволоки l.
2.10. Из 80 одинаковых сопротивлений сделали составное двумя способами: один раз – соединив последовательно 16 одинаковых групп по 5 параллельно соединенных сопротивлений в каждой группе, второй раз – соединив параллельно 20 одинаковых групп по 4 последовательно соединенных сопротивления в каждой группе. Во сколько раз сопротивление во втором случае меньше, чем в первом?
2.11. Имеются 10 резисторов опротивлением 1 кОм. Нарисуйте схему электрической цепи, сопротивление которой как можно ближе к 1,7 кОм. Укажите на рисунке два вывода цепи, которые будут подсоединяться к прибору для измерения сопротивлений. Чему равно сопротивление Вашей цепи?
(Есть пример цепи с сопротивлением точно 1,7 кОм(
))
2.12. Участок АВ электрической цепи, схема которого показана на рисунке, состоит из одинаковых резисторов и проводов, сопротивление которых пренебрежимо мало. Сопротивление этого участка цепи равно R1 = 730 Ом. После того, как школьник Вася перерезал один из проводов, сопротивление участка АВ стало равным R2 = 1360 Ом. В каких точках Вася мог перерезать провод. Укажите две такие точки. Ответ обоснуйте.
Перемычки и мосты
3.1. Определите сопротивление R каждой из показанных на рисунках цепей. Сопротивление каждого из резисторов R0; сопротивлением соединительных проводов можно пренебрачь.
3.2. Имеется n точек. Все точки соединены попарно резисторами с сопротивлением R0. Каково сопротивление R между любыми двуся из этих точек?
3.3. Определите сопротивление R цепи (см. рисунок) между точками А и В, если сопротивление каждого звена R0.
3.4. В цепи, представленной на рисунке, гальванометр показывает отсутствие ток. Выразите сопротивление Rxчерез R1, R2, R3.
3.5.На рисунке показана схема мостика Уитстона для измерения сопротивлений. Здесь R0 — эталонное сопротивление, Rx — неизвестное сопротивление. Скользящий контакт D соединенный с гальванометром G, перемещается по проводу AB, имеющему большое сопротивление. Докажите, что ток через гальванометр не проходит, если выполнено условие 
. Сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь.
3.5.При сборке мостика Уитстона(см. задачу 3.4) ошиблись и поменяли местами гальванометре G и ключ К. Как можно измерить неизвестное сопротивление Rх с помощью такой схемы?
3.6. Какой ток идет через амперметр, если R1=R4=R, а R2=R3=3R? К цепи приложено напряжение U. Сопротивление амперметра можно считать пренебрежимо малым.
3.7. Какую силу тока I покажет амперметр в изображенной на рисунке цепи? Сопротивления резисторов: R1= 6 Ом; R2 = 8Ом;R3= 12 Ом; R4 =24 Ом.
3.8. Определите силу тока I1через резистор с сопротивлением R1. Сопротивления резисторов: R1=5 Ом;R2=7 Ом; R= 2 Ом. ЭДС источника 
= 30 В, его внутреннее сопротивление r = 2 Ом.
3.9. Резистор с сопротивлением Rподключают к клеммам А и В (см.рисунок). Определите силу тока Iчерез этот резистор.
3.10.Если к точкам А и В показанной на рисунке цепи подключить идеальный вольтметр (имеющий бесконечно большое сопротивление), он покажет напряжение U0. Если к тем;е точкам подключить идеальный амперметр (имеющим нулевое сопротивление), он покажет силу тока I0. Определите силу тока I, текущего по включенному между точками А и В резистору с сопротивлением R.
3.11.В одно из плеч моста Уитстона включено нелинейное сопротивление, для которого закон Ома не справедлив и зависимость тока I (в амперах) от приложенного напряжении U (в вольтах) имеет вид I = 0.01U3. В остальные плечи моставключены одинаковые сопротивления R = 4 Ом. При каком токе внешней батареи мост окажется сбалансированным?
3.12. На рисунке изображена схема Уитстона, в которой R = 5 Ом, r1=2 Ом, r2=4 Ом, а x –нелинейной сопротивление, для которого не выполняется закон Ома и сила тока I пропорциональна квадрату приложенного напряжения: I= αU2. Определить коэффициент пропорциональности α, если известно, что мостик оказывается сбалансированным при напряжении внешней батареи E= 12 В. (α = 0,0125 А/В2)
Симметрии
Теория: введение потенциала электрического пола, расчет разности напряжений/потенциалов в простейших цепях.
4.1. Электрическая цепь составлена из двух равносторонних треугольников так, как это показано на рисунке. Внутренний треугольник вдвое меньше внешнего и присоединён к серединам сторон внешнего треугольника. Найти сопротивление цепи, включённой в сеть между точками А и В. Известно, что сопротивление сторон большого треугольника равно г, сопротивление каждого проводника пропорционально его длине.
4.2. Определите сопротивление RАВ между точкамиА и В проволочной сетки, показанной на рисунке. Сопротивление каждого из проводников (вне зависимости от его длины), из которых спаяна сетка, равно R. Места спайки проводников обозначены точками. В сетки электрический контакт отсутствует.
4.3. Найти сопротивление электрической цени между точками А и В(см. рисунок). Сопротивление стороны большого шестиугольника равно R, сопротивление стороны малого шестиугольника, равно 
, сопротивление каждого внутреннего проводника, заключенного между шестиугольниками, равно , а сопротивление каждого проводника, находящегося внутри малого шестиугольника, равно 
.
4.4. Из проволоки сделали правильную треугольную пирамиду, все рёбра которой имеют одинаковую длину и сопротивление Я. К серединам двух противоположных взаимно перпендикулярных рёбер подсоединили выводы А и В омметра прибора для измерения сопротивлений. Что покажет омметр?
4.5. Из проволоки сделали правильную четырёхугольную пирамиду, все рёбра которой имеют одинаковое сопротивление Я. К серединам двух соседних (перпендикулярных) рёбер основания подсоединили выводы А и В омметра прибора для измерения сопротивлений. Что покажет омметр?
4.6.Из проволоки сделали правильную пирамиду, четыре ребра, которой имеют сопротивление r, а два — 2r (см. рисунок). К серединам сторон, имеющих сопротивление 2r, подключают источник электрического напряжения. Чему равно сопротивление пирамиды?
4.6. Из трёх проволок, каждая из которых имеет сопротивление R = 96 Ом, сделали три кольца и соединили их в «сферический резистор» так, что длина участка между любыми двумя ближайшими узлами одинакова (см. рисунок). Чему равно сопротивление RAB конструкции между узлами А и В?
4.7. Тридцать одинаковых резисторов сопротивлением Rкаждый соединены между собойв пространстве так, что они являются рёбрами выпукло-о правильного многогранника: в случае (а) двадцатигранника (икосаэдра); в случае (б) двенадцатигранника (додекаэдра). Какое сопротивление будет представлять описанная выше система (а) или (б), если подключиться к паре ее наиболее удаленных вершин. Сколько разных значений сопротивления можно получить в случае (а) и в случае (б), если подключаться к всевозможным парам вершин этих многогранников?
Справка: грани икосаэдра — 20 правильных треугольников, в каждой из 12 вершин сходятся по 5 треугольников; грани додекаэдра. — 12 правильных пятиугольников, в каждой из 20 вершин сходятся по 3 пятиугольника (см. рисунки)
4.8. В схеме, изображенной на рисунке, все резисторы одинаковые и имеют сопротивление R.Найдите сопротивление между точкамиА и В этой схемы.
4.9. Схема представляет собой куб из проволоки. Ребро куба имеет сопротивление R.Чему равно общее сопротивление схемы? Рассмотреть все возможные способы подключения
Бесконечные цепи
5.1. Найти сопротивление бесконечной цепочки.
5.2. Определите сопротивление полубесконечной цени между точкамиАи В. Если сопротивление каждого звена равно R
5.6. Бесконечная цепочка из одинаковых звеньев состоит из резисторов сопротивлениями 3R и R, соединённых, как показано на рисунке. Найти сё сопротивление Rab между входными контактамиАи В.
5.7. Найдите сопротивление цепи, состоящей из бесконечного числа ячеек. Сопротивления резисторов заданы на рисунке.
5.8. Найти сопротивление между клеммами AwВцепи, изображённой на рисунке и состоящей из бесконечного числа одинаковых резисторов с сопротивлением R.
5.8. В бесконечную проволочную сетку, состоящую из шестиугольников с сопротивлениями каждого ребра r (см. рисунок слева), добавили проводники с такими же сопротивлениями — так, как показано на рисунке справа (каждую шестиугольную ячейку разделили тремя отрезками проволоки сопротивлением r каждый на три одинаковых ромба).
 |
Найдите сопротивление между точками А и В, показанными на правом рисунке
5.9.Аттенюатор представляет собой делитель напряжения, схема которого представлена на рисунке. Каковы должны быть сопротивления R1 и R2, чтобы на каждом следующем сопротивлении R1 напряжение было в десять разменьше, чем на предыдущем?
5.10. а) Если в бесконечной схеме, состоящей из квадратных ячеек, через один узелА подводят ток i, а через соседний узел В отводят ток i. то какой ток идет по сопротивлению, соединяющему узлы.4 и В? Каково эквивалентное сопротивление цепи между этими узлами, если сопротивление стороны ячейки r?
б) Каково эквивалентное сопротивление между соседними узлами бесконечной кубической арматуры, если сопротивление ребра куба r?
В) Определите сопротивление между узлами A иВ двумерной бесконечной сетки с ячейками в виде правильных шестиугольников и узлами С и A, расположенными через один соседний узел. Сторона каждой ячейки имеет сопротивление r.
5.11. Найдите сопротивление между клеммами А и В бесконечой цепи, схема которой изображена на рисунке. Сопротивление каждого резистора равно R.
5.12. Какое сопротивление необходимо включить между точками С и D, чтобы сопротивление все цепочки не зависело от числа элементарных ячеек?