Линейные однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение Линейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
=0
(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение 
).
Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни l1 и l2, причем 
. Тогда общее решение уравнения имеет вид
(С1, С2 – некоторые числа).
2) Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности 2),то общее решение имеет вид
(С1, С2 – некоторые числа).
3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид
, где
, С1, С2 – некоторые числа.
НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ
Общее уравнение прямой:
Ax+By+C=0
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y=kx+b
(k=tgj коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)
Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 параллельны, то k1=k2.
Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 перпендикулярны, то k1*k2=-1.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):
Пусть прямая проходит через точку M1(x1;y1) и образует с осью Ox угол 
y-y1=k(x-x1)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2):
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 примет вид
y-f(x0)=f¢(x0)(x-x0)
Геометрический смысл производной:
f¢(x0)=k=tga
(производная f¢(x0) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0)
МАТРИЦЫ
Определение: Матрицей размера m 
n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрица размера m n:
.
Виды матриц
|
|
Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)- столбцом.
Пример:
; 
.
Определение: Матрица называется квадратной n - го поряд ка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Пример:
- квадратная матрица третьего порядка.
Определение: Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Пример:
- диагональная матрица третьего порядка.
Определение: Если у диагональной матрицы n -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n -го порядка, она обозначается буквой E.
Пример:
- единичная матрица второго порядка;
- единичная матрица третьего порядка.
Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все элементы равны нулю.
Операции над матрицами
Умножение матрицы на число
Каждый элемент матрицы умножается на это число.
Пример:
, 0,5 
.
Сложение матриц
!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы складываются поэлементно.
Пример:
.
Вычитание матриц
!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы вычитаются поэлементно.
Пример:
.
Умножение матриц
!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведением матрицы 
называется такая матрица 
, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i- ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.
|
|
Возведение в степень
Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е.
.
Пример:
, найти А2.
Транспонирование матрицы
Транспонированная матрица – матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается 
.
Пример:
.
Обратная матрица
Определение: Матрица 
называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.
.
!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля).
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Находим определитель матрицы, т.е. 
.
2. Находим транспонированную матрицу, т.е. .
3. Находим присоединенную матрицу, т.е 
(матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).
4. Вычисляем обратную матрицу по формуле 
.
5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.
Ранг матрицы
Определение: Ранг матрицы – это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.
!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).
Элементарными называются следующие преобразования матриц:
1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;
|
|
2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;
3) перемена местами строк (столбцов) матрицы;
4) отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.
Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.
| xi | x1 | x2 | … | xn |
| yi | y1 | y2 | … | yn |
Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x) – эмпирическая формула.
Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:
- устанавливается вид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y=ax+b);
- определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f(xi), найденных по эмпирической формуле y=f(x), от соответствующихопытных значений была минимальной, т.е.
(в нашей задаче 
).
В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:
,
получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры a и b линейной зависимости:
.
НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка F¢(x)=f(x).
Определение: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается 
, т.е.
.
Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления определенных интегралов):
Формула для вычисления дифференциала функции y=f(x):
dy=f¢(x)dx.
Некоторые свойства неопределенного и определенного интегралов:
Н.и. 
, где с – некоторое число,
О.и. 
, где с – некоторое число;
Н.и. 
,
О.и. 
.
!!! Неопределенный интеграл находится приведением интеграла к табличному (сумме табличных) с помощью этих двух свойств или с помощью таких приемов, как методы интегрирования заменой переменных и по частям.
Формула замены переменной в неопределенном интеграле:
, где 
- функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Формула замены переменной в определенном интеграле:
, где - функция имеет непрерывную производную на отрезке [a,b].
Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:
,
где u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции переменной х.
При этом 
Постоянную С в выражении для v в формуле интегрирования по частям полагают равной 0.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
,
где u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [a,b].
Табличные интегралы
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определение. Пусть дана квадратная матрица второго порядка
.
Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое по правилу:
.
Определение. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
.
Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называют число, получаемое по правилу:
.
Для того, чтобы запомнить, какие произведения в правой части соотношения следует брать со знаком “+”, какие – со знаком “–”, полезно следующее графическое правило, называемое правилом треугольников:
 |  | ||
– со знаком “+”; – со знаком “–”.
ПРЕДЕЛЫ
Основные понятия и определения
Определение: Функция 
называется бесконечно малой величиной (БМВ) при 
или при 
, если ее предел равен нулю:
.
Свойства бесконечно малых величин:
- алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;
- произведение БМВ на ограниченную функцию есть БМВ;
- частное от деления БМВ на функцию, предел которой отличен от 0, есть БМВ.
Определение: Функция 
называется бесконечно большой величиной (ББВ) при 
или при , если ее предел равен бесконечности.
!!! Если - БМВ при или при , то функция 
является ББВ при или при . Верно и обратное утверждение.
Свойства бесконечно больших величин:
- сумма ББВ и ограниченной функции, есть ББВ;
- произведение ББВ на функцию, предел которой отличен от 0 есть ББВ;
- частное от деления ББВ на функцию, имеющую предел, есть ББВ.