Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом.
Теоретически, в зависимости от условий формирования, могут быть получены весьма разнообразные виды аннуитетов: с платежами равной либо произвольной величины; с осуществлением выплат в начале, середине или конце периода и др. в финансовой практике встречаются так называемые простые, или обыкновенные, аннуитеты, которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода) года, полугодия, квартала, месяца и т.д.). схематично подобный денежный поток может представлен следующим образом (рис. 1).
Выплата по купонным облигациям, банковским кредитам, долгосрочной аренде, страховым полисам, формирование различных фондов – все это далеко не полный перечень финансовых операций, денежные потоки которых представляют собой обыкновенные аннуитеты.
Согласно определению простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:
1) Все его n элементов равны между собой
2) Отрезки времени между выплатой / получением сумм одинаковы
Выделяют 2 типа срочных аннуитетов:
1) Постнумерандо
2) Пренумерандо
 |
Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.
На практике большее распространений получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансы результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода.
Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.
Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:
a. Прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения)
b. Обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).
При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула:
1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула:
, где
– будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);
R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
r – используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.
Пример: Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 1000 руб. Банк Платит 10% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении пяти лет?
Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим:
2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула
, где
– будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);
R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
r – используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.
Пример: Вам предлагают сдать в аренду участок на 5 лет. Выбрав один из двух варинтов:
1) 1 000 руб. в конце каждого года;
2) 6 000 руб. в конце пятилетнего периода.
Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 10% по вкладу
Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим:
усл. ден. единиц.
Таким образом, расчет показывает, первый вариант более выгоден.
3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), используется следующая формула:
, где
– настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);
R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
d – используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;
n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.
Пример: Необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных.
- период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет;
- интервал платежей по аннуитету составляет один год (при внесении платежей в начале года);
- сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1 000 руб.;
- используемая для дисконтирования стоимости ставка процента (дисконтная ставка) составляет 10% в год (0,1).
Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим:
руб.
4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:
, где
– настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);
R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
d – используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;
n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.
Пример: Необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо) по данным, изложенным в предыдущем примере (при условии взноса платежей в конце года).
Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим:
руб.
Сопоставление результатов расчета по двум последним примерам показывает, что настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае в процессе дисконтирования плательщику гарантирована гораздо большая сумма дохода в настоящей стоимости.
5. При расчете размера отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета используется следующая формула:
, где
R – размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной будущей его стоимости);
– будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
d – используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
n – количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.
6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:
, где
R – размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при известной текущей его стоимости);
– настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
d – используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
n – количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.
В процессе расчета аннуитета возможно использование упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффициент) его наращения или дисконтирования.
В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид:
,
– будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
– множитель наращения стоимости аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной ставки и количества интервалов в периоде платежей.
Соответственно, формула для определения настоящей стоимости аннуитета имеет вид:
, где
– настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
– дисконтный множитель аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной (дисконтной) ставки и количества интервалов в периоде платежей.
Первый шаг в решении любой задачи. Связанной с расчетом временной стоимости денег, - это изучение схемы денежных потоков с тем, чтобы отобразить её на временном графике. Вуди Ален говорил, что 90% успеха – это обратить на себя внимание. Что же касается задач, связанных с временной стоимостью денег, 90% успеха – это правильное определение моментов и условий совершения денежных потоков.
После того как вы отобразите денежные потоки на графике, следующий ваш шаг – выбрать верный способ решения задачи. Какой из подходов вы выберете – численный, использование финансового калькулятора или электронную таблицу? Ответ на этот вопрос зависит от конкретной ситуации.
Существуют специальные финансовые таблицы, с помощью которых при заданных размерах ставки процента и количества платежных периодов можно определить будущую и настоящую стоимость денежных средств.