ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Графоаналитический метод, применяемый для определения значений скоростей и ускорений в различных положениях механизма, при аккуратном выполнении всех необходимых построений дает вполне удовлетворительную точность при решении практических задач. Недостатком его является довольно значительная затрата времени на выполнение всей работы, даже минимального числа положений механизма.
Рис.12. Графическое дифференцирование по методу касательных.
 |
Значительно быстрее можно построить графики скорости и ускорения для ведомой точки механизма, если воспользоваться методом графического дифференцирования. Допустим, что после выполненной разметки траектории движения ведомой точки мы имеем построенный в масштабах кs и кt график перемещений, изображенный на рис. 12, а, и нам необходимо построить график изменения скорости рассматриваемой точки за время, соответствующее одному обороту кривошипа. Общее выражение скорости, как известно из курса теоретической механики, имеет вид
V = 
. (55)
Выражения для величины перемещения и времени можно написать в следующей форме
S = 
; (56)
t = 
, (57)
где 
и 
— масштабные значения перемещения и времени.
Продифференцировав выражения (56) и (57), будем иметь
ds = 
; (58)
dt = 
. (59)
Подставив правые части выражений (58) и (59) вместо ds и dt в формулу (55), найдем
V = 
. (60)
Как известно из курса математического анализа, отношение
= tg a, (61)
где a — угол, образованный касательной к кривой в данной точке с осью х—х (в нашем примере с осью О — ).
На основании изложенного равенства (60) примет вид
V = 
tg a. (62)
Формула (62) является основным выражением для графического дифференцирования по методу касательных, из которого становится ясным сам принцип графического дифференцирования. Из формулы (62) следует, что для получения графика скорости по имеющемуся графику перемещения необходимо в соответствующих точках графика перемещения провести касательные к кривой и, определив тангенсы углов, образованных касательными с осью О — , умножить их на отношение масштабов . В результате получим ряд значений скоростей для соответствующих положений механизма, по которым можно построить кривую изменения скорости ведомой точки в некотором масштабе.
Чтобы избавиться от измерения углов для вычисления тангенсов, поступим следующим образом. Проведем в точке 1 графика перемещений касательную I (см. рис. 12, а). Продолжим ось O— влево от точки O и отложим на ней произвольно выбранный отрезок 
=Н1, который в дальнейшем будем называть полюсным расстоянием, а точку p—полюсом. Затем через полюс p проведем луч, параллельный касательной I до пересечения в точке 1’ с осью О — . Получим на оси отрезок
=H1tg a1, (63)
где a1 — угол, образованный направлением касательной I с осью О — или, что то же самое, угол, образованный лучом p1' с той же осью О— .
Из сравнения формул (62) и (63) установим, что отрезок на оси О — можно принять за масштабное значение скорости, так как и скорость V в выражении (62) и отрезок в выражении (63) равны тангенсу угла наклона касательной, умноженному на постоянную величину; в первом случае этой постоянной величиной является отношение масштабов , а в другом — полюсное расстояние Н1.
Приняв отрезок за масштабное значение скорости, можем написать
V = 
=H1tga1 , (64)
где — неизвестный пока масштаб скорости.
Величину легко найдем, если приравняем друг другу правые части формул (62) и (64). Будем иметь
tg a1 = H1tga1 , (65)
откуда
= 
. (66)
Проводя через полюс p лучи, параллельные касательным II, III, IV и т. д., проведенным в точках 2, 3, 4,... графика перемещений, найдем масштабные значения скоростей 
, 
,..., соответствующие моментам времени (или углам поворота кривошипа), определяемым точками 2, 3, 4 и т. д. на оси времени. Затем возьмем новую систему координат 
— , расположенную под графиком перемещения, и отложим найденные масштабные значения скоростей на соответствующих вертикалях, проведенных через точки 1, 2, 3,... новой оси времени.
Отрезки 
, 
и т. д., расположенные выше начала осей координат графика перемещений, отложим на вертикалях вверх от новой оси времени в системе — , а отрезки 
и 
и т. д., расположенные ниже начала осей координат графика перемещений, отложим на вертикалях вниз от новой оси времени в системе — . Соединив точки О, 1’, 2’, 3',... данной кривой, получим искомый график скорости (рис. 12,6).
В соответствии с основной формулой (62) графического дифференцирования, при проведении кривой скорости по найденным точкам 1', 2', 3',... необходимо следить за тем, чтобы соответствовали:
1) подъему кривой графика перемещений положительные, а опусканию—отрицательные ординаты кривой скорости;
2) точкам перегиба графика перемещений максимальные или минимальные ординаты графика скорости;
3) максимальным или минимальным значениям ординат графика перемещений нулевые значения скорости.
Выбирая полюсное расстояние Н1, необходимо руководствоваться тем соображением, чтобы максимальное масштабное значение величины скорости, получаемое в виде соответствующего отрезка на оси 0 — графика перемещения, не вышло за пределы чертежа. Так как максимальное значение скорости соответствует точке перегиба на графике перемещений, то при графическом дифференцировании кривой перемещений следует провести касательные в точках перегиба и выбрав из них ту, которая образует наибольший острый угол с осью времени
О— , назначить желаемую величину максимального масштабного значения величины скорости, а тем самым и полюсного расстояния.
График касательного ускорения ведомой точки механизма (рис. 12, в) можно построить по найденному графику скорости, продифференцировав последний так же, как это было описано выше при дифференцировании графика перемещений (см. приложения I и II). Масштаб 
графика ускорения остается таким же, как и при построении графика скорости. Масштаб 
графика ускорения определяется по формуле
= 
= 
, (67)
получаемой на основании рассуждений, аналогичных изложенным выше при выводе формулы масштаба графика скорости. В формуле (67) величина H2 — полюсное расстояние на графике скорости.
При проведении кривой графика касательного ускорения необходимо следить за тем, чтобы соответствовали:
1) подъему кривой графика скорости положительные, а опусканию отрицательные ординаты кривой ускорения;
2) точкам перегиба графика скорости максимальные или минимальные значения ординаты графика ускорения;
3) максимальным или минимальным значениям ординат графика скорости нулевые значения графика ускорения.