Меры центральной тенденции




Лабораторная работа №1

«Описательная статистика»

 

Цель работы – освоение способов расчета основных параметров распределения: мер центральной тенденции и мер изменчивости.

Ход работы:

1. В вариантах заданий представлены 2 выборочные совокупности, объемы которых даны соответственно вариантам (N1, N2). Каждая выборка представляет собой результат измерений психологических параметров.

2. Вычислить для каждой из этих совокупностей (выборок) меры центральной тенденции и меры изменчивости.

Меры центральной тенденции

1. Средняя арифметическая:

2. Медиана (Median) – это такое значение признака, которое делит упорядоченное (ранжированное) множество данных пополам так, что одна половина всех значений оказывается меньше медианы, а другая больше.

· Если данные содержат нечетное число значений (8,9,10,13,15), то медиана есть центральное значение, Мd=10.

· Если данные содержат четное число значений (5,8,9,11,13,16), то медиана есть точка, лежащая посередине между двумя центральными значениями, т.е. Мd=(9+11)/2=10.

Подсчет медианы (Md): необходимо расположить данные в порядке возрастания, либо в порядке убывания, поделить полученный ряд на две равные половины. То, что попало в середину, если ряд нечетный и будет медианой. Если ряд четный, то медиана будет равна полусумме двух значений, оказавшихся посередине.

3. Мода (Mode) – это такое значение из множества измерений, которое встречается наиболее часто. Мода является, возможно самой простой из мер центральной тенденции. Для ее вычисления необходимо просто подсчитать, сколько раз встречается каждое значение случайной величины, и наиболее частое и будет являться модой.

 

МЕРЫРАССЕИВАНИЯ (изменчивости)

В отличии от мер центральной тенденции (среднее арифметическое(), медиана(Me или Md) и мода(Mo). меры рассеивания показывают насколько данные неоднородны, изменчивы или различны. По этой причине меры рассеивания иногда называют мерами изменчивости и вместе с мерами центральной тенденции их называют параметрами распределения.

1. Размах. Самой простой из таких мер является размах (d) – разность между минимальным и максимальным значением случайной величины в данном распределении. Совершенно очевидно, что два распределения, имеющие одинаковые средние арифметические, медиану и моду могут различаться по размаху, т.к. меры центральной тенденции не показывают насколько данные разбросаны на числовой оси. Размах показывает насколько широк диапазон значений случайной величины.

Недостатком этой меры является то, что при его подсчете не учитываются все значения случайной величины. Более показательны при описании неоднородности данных другие меры рассеивания: среднее отклонение (MD), дисперсия( ), стандартное (среднеквадратическое) отклонение( ),. В расчетах этих мер используется центральное отклонение – разность каждого значения случайной величины со средним арифметическим данного распределения.

2. Среднее отклонение. Представляет собой отношение суммы модулей центральных отклонений к числу наблюдений и вычисляется по формуле:

Очевидно, что для двух разных распределений, характеризующихся одинаковыми ранее описанными параметрами, среднее отклонение будет больше в том случае, если в распределении чаще встречаются удаленные от среднего значения.

3. Дисперсия. Среднее отклонение является полезной мерой рассеивания, однако используется реже, чем дисперсия – отношение суммы квадратов центральных отклонений к числу наблюдений. Формула дисперсии – отношение суммы квадратов центральных отклонений не к n, а к n –1.:

Дисперсия входит как параметр распределения в ряд важных статистических критериев, но для описания данных психологических экспериментов используется значительно реже, чем стандартное отклонение.

4. Стандартное отклонение. Стандартное отклонение представляет собой корень из дисперсии:

Стандартное отклонение, пожалуй, одна из наиболее часто используемых мер рассеивания, благодаря тем свойствам, которые оно имеет для нормального распределения. В описании психологических переменных, стандартное отклонение часто используется как показатель границ большинства значений или условной нормы, что является особенно важным в психологии личности, исследованиях интеллекта и т.д. В настоящее время практически все важные стандартизированные психодиагностические шкалы (шкала Т-баллов, шкала стенов, шкала IQ и т.д.) созданы с учетом стандартного отклонения.

6. Асимметрия. Это мера ''косости'' или ''скошенности'' распределения. Распределения, отличающиеся одинаковыми средними и отклонениями могут быть, тем не менее, разными, поскольку ни модуль, ни квадрат разности не показывают, с какой стороны от среднего находилось отдельное значение случайной величины. В тех случаях, когда количество значений, больших среднего, превышает количество значений меньших, чем среднее, говорят о положительной асимметрии, в противном случае – об отрицательной асимметрии. Асимметрия вычисляется как отношение среднего кубов центральных отклонений к кубу стандартного отклонения:

В симметричном распределении асимметрия точно равна нулю, но в зависимости от того, как изменяются разности значений со средним, знак асимметрии меняется на положительный или отрицательный (т.к. при возведении в куб знак сохраняется).

7. Эксцесс. Эта мера ''выпуклости'' или ''крутости'' распределения. При всех одинаковых других параметрах, два распределения могут различаться тем, что полигон частот будет островершинным или плоским, т.е. мода может оказаться равной, но встречаться с разной частотой. Эксцесс служит для того, чтобы определить крутизну кривой, описывающей распределение, в окрестностях единственной моды.

Эксцесс рассчитывается по формуле:

Особенностью всех мер рассеивания (изменчивости) является то, что если к каждому значению случайной величины прибавляется или отнимается какое-либо число, то все отклонения, дисперсия, асимметрия и эксцесс останутся прежними.

Островершинное распределение характеризуется положительным эксцессом (Ex>0), а плосковершинное – отрицательным (-3<Ex<0). Средневершинное (нормальное) распределение имеет нулевой эксцесс (Ex=0).

Особенностью всех мер рассеивания является то, что линейное преобразование значений случайной величины никак не сказывается на значениях этих мер, т.е. если к каждому значению случайной величины прибавляется или отнимается какое-либо число, то все отклонения, дисперсия, асимметрия и эксцесс останутся прежними.

Квантили распределения

 

Помимо мер центральной тенденции в психологии используются меры положения или квантили распределения. Квантильэто точка на числовой оси измеренного признака, которая делит упорядоченных значений на группы с известным соотношением их численности.

Один из квантилей – это медиана.

Кроме медианы широко используются квартили и процентили.

Процентили – это 99 точек-значений признака (P1, P2…..P100), которые делят упорядоченное по возрастанию множество наблюдений на 100 равных частей. Определяется каждый процентиль также как медиана.

Квартили – это 3 точки – значения признака (P25, P50, P75), которые делят упорядоченное множество наблюдений на 4 равные части.

 

Процентили и квартили используются для определения частоты встречаемости тех или иных значений измеренного признака или для выделения подгрупп и отдельных испытуемых.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-31 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: