РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ). ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
При растяжении (сжатии) внешние силы совершают работу вследствие перемещения точек их приложения (рис. 2, а).
Вычислим работу статически приложенной внешней силы, т. е. такой силы, величина которой растет в процессе деформации от нуля до своего конечного значения с весьма небольшой скоростью.
Элементарная работа dA внешней силы Р наперемещении dδ равна
(6)
Но между δ и Р существует зависимость (закон Гука)
,
откуда
Подставляя это значение в формулу (2.43), получаем
Полную работу силы получим, интегрируя это выражение в пределах от нуля до окончательного значения перемещения δ1
Таким образом,
(7)
т. е. работа внешней статически приложенной силы равна половине произведения окончательной величины силы на окончательную величину соответствующего перемещения.
Графически работа силы Р выражается (с учетом масштабов) площадью ОАВ диаграммы, построенной в координатах δ — Р (рис. 2, б).
Отметим, что работа силы Р1, неизменной по величине, на перемещении δ1, равна 
т. е. в два раза больше, чем при статическом действии.
При деформации совершают работу не только внешние силы, но и внутренние (силы упругости).
Работу внутренних сил при растяжении (сжатии) можно вычислить следующим образом.
На рис. 3 показан элемент dz стержня, на который действуют нормальные напряжения σ, являющиеся для этого элемента внешними силами.
Внутренние силы, очевидно, будут направлены в противоположную сторону, т. е. в сторону, противоположную перемещению. Поэтому работа внутренних сил при нагружении всегда отрицательна.
Элементарная работа внутренних сил (для элемента dz) вычисляется по формуле, аналогичнойформуле [7]
(8)
где N — внутреннее усилие (продольная сила);
Δ(dz) — удлинение элемента.
Но, согласно закону Гука, имеем
Следовательно,
(9) рис. 3
Полную работу внутренних сил получим, интегрируя обе части формулы по длине всего стержня l
(10)
Если N, Е и F постоянны, то
где Δl = δ = 
— удлинение стержня.
Величина, равная работе внутренних сил, но имеющая противоположный знак, называется потенциальной энергией деформации. Она представляет собой энергию, накапливаемую телом при деформации.
Таким образом, для стержня постоянного сечения при продольной силе, имеющей одно и то же значение во всех поперечных сечениях, потенциальная энергия при растяжении (сжатии) определяется по формуле
(11)
Потенциальная энергия, отнесенная к единице объема материала, называется удельной потенциальной энергией:
или
(так как σ=Еε),
или
(12)
При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия получится как сумма трех слагаемых (на основании принципа независимости действия сил)
(13)
Используя обобщенный закон Гука, получаем
(14)
Из этой формулы, как частный случай, полагая одно из главных напряжений равным нулю, легко получить формулу для плоского напряженного состояния.
СВОЙСТВА МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Отметим два важных свойства механической энергии, которые широко используются в современных методах расчета конструкций при любых деформациях: растяжении, кручении, изгибе и т. д.