Закон Био–Савара–Лапласа

ГЛАВА 4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

 

Магнитная индукция

 

В 1820 году Эрстед обнаружил, что поле, возбуждаемое проводниками с током, оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку (отсюда название магнитное поле). Стрелка всегда устанавливается в магнитном поле определенным образом (по силовым линиям поля).

Магнитное поле создается: движущимися зарядами, проводниками с током, телами, обладающими магнитным моментом (постоянными магнитами) и действует на эти же объекты.

В природе не существует магнитного аналога элементарному электрическому заряду. Пробным телом, пригодным для определения и измерения магнитного поля, может быть элементарный плоский контур с током (пробный ток), магнитным полем которого можно пренебречь.

Количественной характеристикой элементарного плоского контура с током является его магнитный момент:

, (4.1)

где единичный вектор нормали к плоскости контура, образующий правый винт с направлением тока;

сила тока, протекающего по контуру; площадь поверхности, ограниченной контуром.

Если поместить пробный ток в магнитное поле, созданное внешним источником, то пробный ток будет испытывать силовое воздействие поля, его магнитный момент будет устанавливаться в поле определенным образом.

Механический момент сил , который поворачивает в магнитном поле будет равен

. (4.2)

 

, когда , см. 1)

 

Отношение называют модулем магнитной индукции в точке . Вектор магнитной индукции сонаправлен с в равновесном положении контура, когда .

 

Это будет при , см. 2) на рисунке. За направление и берут это направление.

Если ток, создающий магнитное поле стационарный (постоянный), то такое поле называют магнитостатическим.

Магнитостатическое поле изображают с помощью линий магнитной индукции, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током.

 

 

Магнитное поле беско-

Магнитное поле постоян- нечно длинного прямолинейного ного магнита. проводника с током.

 

Индукция магнитного поля заряда , движущегося с постоянной скоростью в точке (см. рисунок ниже), в случае ():

, (4.3)

– магнитная постоянная,

– магнитная проницаемость среды, для вакуума .

Модуль равен .

 

В СИ: .

 

 

4.2. Магнитное поле проводника с током.

Закон Био–Савара–Лапласа

 

Пусть по длинному тонкому проводнику, идет ток . Элемент линейного тока , направленный по току, создаст в некоторой точке магнитное поле, индукция которого равна:

(4.4)

Формула (4.4) – закон Био–Савара–Лапласа.

Модуль вектора определяется выражением

(4.5)

где угол между вектором и направлением тока в элементе провода.

Магнитная индукция поля всего проводника с током:

(4.6)

 

Формула (4.6) следует из принципа суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами в точке, равна векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в точке в отдельности, т.е.

(4.7)

(4.7) – математическая запись принципа суперпозиции магнитных полей.

Для длинного проводника с током

.

Если проводник и точка наблюдения лежат в одной плоскости, то этой плоскости и все от различных элементов тока сонаправлены, тогда

.

 

4.3. Поток вектора . Теорема Гаусса для вектора

Поток любого вектора через поверхность можно представить, как

,

где число выходящих и входящих силовых линий поля.

Магнитный поток вектора через произвольную поверхность равен:

, (4.8)

где единичный вектор нормали к поверхности в данной точке.

Единица магнитного потока в СИ: = = вебер (Вб).

Поток вектора через любую замкнутую поверхность (S) равен нулю:

. (4.9)

(4.9) – теорема Гаусса для вектора в интегральной форме.

Используя теорему Остроградского-Гаусса для вектора

,

можно получить

. (4.10)

(4.10) – теорема Гаусса для вектора в дифференциальной форме.

Из (4.9) и (4.10) следует, что в природе отсутствуют магнитные заряды – точечные магнитные однополюсники (монополи).

4.4. Циркуляция вектора . Теорема о циркуляции вектора (закон полного тока)

Циркуляция вектора по произвольному контуру равна

, (4.11)

где единичный вектор, касательный к контуру .

Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

. (4.12)

(4.12) – теорема о циркуляции вектора в интегральной форме (закон полного тока).

При этом ток считается положительным, если он образует правый винт с выбранным направлением обхода контура, и отрицательным если левый.

Если ток распределен по поверхности с плотностью , то

.

Тогда (4.12) можно переписать в виде

.

Используя теорему Стокса для вектора :

,

можно получить

. (4.13)

 

(4.13) – теорема о циркуляции вектора в дифференциальной форме.

Из (4.12) и (4.13) следует, что магнитное поле является вихревым, не потенциальным.

Сила Лоренца

Сила, действующая на заряженную частицу в электромагнитном поле.

, (4.14)

где электрическая составляющая силы Лоренца,

магнитная составляющая силы Лоренца. (4.15)

Если , то ,

.

Если , то ,

.

Магнитная составляющая силы Лоренца (гироскопическая сила) всегда направлена перпендикулярно скорости движения заряда , поэтому она работы над зарядом не совершает, и кинетическая энергия заряженной частицы при движении в магнитном поле не меняется, т.е. не изменяет

модуля скорости частицы, но может, в зависимости от траектории, менять направление скорости.

Покажем, что магнитное поле не может ускорить частицу.

Сила Лоренца . Работа магнитной составляющей силы Лоренца по определению: .

И всегда т.е. , а (по определению). Следовательно, для силы Лоренца , т.е. откуда , а т.к. это значит, что , т.е. . Отсюда магнитное поле не меняет величину скорости частицы. Величину скорости частицы изменяет электрическое поле .

В однородном магнитном поле траекторию движения частицы задает угол между векторами и :

если , траекторией движения частицы является окружность;

если , частица движется вдоль силовых линий по прямой;

если – любой другой угол, частица движется по винтовой линии (спирали).