Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Алгоритм исследования функции

Нахождение области определения функции.

Определение 1. Область определения функции - множество, на котором задаётся функция.

Определение 2. Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.

Определение 3. Пусть задано отображение f, которое отображает множество X в Y, то есть: ; тогда

множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f), или dom f (от англ. domain «область»).

Правила нахождения области определения функции:

Пусть y=f(x) и y=g(x) - основные элементарные функции или их комбинации.

Для степенных функций вида , где n - четное, область определения находится из системы:

Для логарифмических функций вида область определения находится из системы:

Для дробей вида область определения находится из системы:

Для функций тангенса или котангенса вида tg(f(x)) или ctg(f(x)) область определения находится из систем соответственно:

или

Для функций арксинус или арккосинус вида arcsin(f(x)) или arccos(f(x)) область определения находится из системы (т.к. областью определения арксинуса и арккосинуса является отрезок от -1 до 1):

Для показательно степенных функций вида вида область определения находится из системы:

Область определения суммы (разности) функций вида находится из системы:

Область определения комбинации рассмотренных выше функций вида находится из системы:

Нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.

Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

Определение 4. На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты, если односторонние пределы функции в этих граничных точках бесконечны.

В нашем примере граничными точками области определения являются . Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы: Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.

Исследование функции на четность или нечетность.

Определение 5. Функция является четной, если y(-x)=y(x). Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.

Определение 6. Функция является нечетной, если y(-x)= - y(x). Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

Определение 7. Если ни одно из равенств (y(-x)=y(x), y(-x)= - y(x)) не выполняется, то функция является функцией общего вида.

В нашем примере выполняется равенство y(-x)=y(x), следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси Oy.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

Определение 8. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.

Определение 9. Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции:

1) находим производную;

2) находим критические точки;

3) разбиваем область определения критическими точками на интервалы;

4) определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.

Определение 10. Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена, и, проходя через которые, производная меняет знак.

Находим производную на области определения: Находим критические точки: 1) находим стационарные точки (они же нули числителя): в нашем примере x=0; 2) находим нули знаменателя: . Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим «+» над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим «-» и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим «+». Схематично плюсами/минусами отмечены промежутки где производная положительна/отрицательна. Возрастающие/убывающие стрелочки показывают направление возрастания/убывания.   Делаем вывод: - функция возрастает на промежутке и на промежутке ; - функция убывает на промежутке и на промежутке . В нашем примере точкой экстремума является точка х=0. Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с «+» на «-» при прохождении через точку х=0, то (0; 0) является точкой локального максимума (если бы производная меняла знак с «-» на «+», то мы имели бы точку локального минимума).