Использование приема обобщения в процессе развития мышления учащихся. Примеры использования эмпирического и теоретического обобщения при изучении математических понятий в начальных классах.
Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений – основная характеристика такого приема умственных действий, как обобщения.
Обобщение – это мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.
В основе обобщения лежат приемы анализа, синтеза, сравнения, а также абстрагирование и конкретизация.
Сравнивая предметы и явления, мы находим сначала их общие свойства, а потом объединяем их по общим существенным признакам. Это объединение возможно, так как мы отвлекаемся от несущественных признаков.
Различают результат и процесс обобщения. Результат фиксируется в понятии, суждении, правилах. Примером обобщения является любое правило.
Процесс обобщения может быть организован по - разному. Различают эмпирическое и теоретическое обобщение.
При изучении математики в начальных классах обычно используют эмпирическое обобщение. В этом случае вывод получается на основе индуктивных умозаключений (от частного к общему). Индукция –это наведение, т.е. учитель как бы ведет учеников к цели. Для построения такого вывода рассматривается несколько объектов, в которых наблюдают проявление данного свойства или правила, после чего делают общий вывод. Таким образом, например, выводят все свойства умножения и сложения.
Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо учитывать следующее:
1.Главное, чтобы учитель продумал подбор математических объектов и последовательность их рассмотрения для целенаправленного наблюдения и сравнения;
2.Рассмотреть как можно больше частных случаев, в которых проявляется закономерность;
3.Варьировать виды частных объектов, используя и действия с предметами, и схемы, и таблицы;
4.Помогать ученикам формулировать вывод с помощью наводящих вопросов.
Рассмотрим на конкретном примере, как можно реализовать приведенные рекомендации. Для того чтобы подвести учащихся к формулировке переместительного свойства умножения, учитель предлагает им такие задания:
1.Рассмотрите рисунок и попробуйте быстро подсчитать, сколько окон в доме.
Дети могут предложить следующие способы: 3+3+3+3, 4+4+4 или 3*4=12; 4*3=12.
Учитель предлагает сравнить полученные равенства, т. е. выявить их сходство и различие. Отмечается, что оба произведения одинаковые, а множители переставлены.
2.Аналогичное задание учащиеся выполняют с прямоугольником, который разбит на квадраты. В результате получают 9*3=27; 3*9=27 и словесно описывают те сходства и различия, которые существуют между записанными равенствами. Приходят к тому же, что и в задании 1, выводу.
3.Ученикам предлагается самостоятельная работа: найти значения следующих выражений, заменив умножение сложением:
3*2, 4*2, 3*6, 4*5, 5*3, 8*4 2*3, 2*4, 6*3, 5*4, 3*5, 4*8
Выясняется, чем похожи и чем отличаются равенства в каждом столбике. Ответы могут быть такими: «Множители одинаковые, они переставлены», «Произведения одинаковые» или «Множители одинаковые, они переставлены, произведения одинаковые».
4.Учитель помогает сформулировать свойство с помощью наводящего вопроса: «Если множители переставить, то что можно сказать о произведении?»
Вывод: «Если множители переставить, то произведение не изменится» или «От перестановки множителей значение произведения не изменится».
Примером эмпирического обобщения является, например, выведение сочетательного свойства сложения - М2И
Формируя у младших школьников умение обобщать наблюдаемые факты индуктивным способом, полезно предлагать задания, при выполнении которых они могут сделать неверные обобщения.
Рассмотрим несколько таких примеров:
1) Сравни выражения, найди общее в полученных неравенствах и сделай соответствующие выводы:
2+3...2*3
4+5...4*5
3+4...3*4
5+6...5*6
Сравнив данные выражения и отметив закономерности: слева записана сумма, справа произведение двух последовательных чисел; сумма всегда меньше произведения, большинство детей делают вывод: «сумма двух последовательных чисел всегда меньше произведения». Но высказанное обобщение ошибочно, так как не учтены случаи:
0+1...0*1
1+2... 1*2
Можно попытаться сделать правильное обобщение, в котором будут учтены определенные условия: «сумма двух последовательных чисел, начиная с числа 2, всегда меньше произведения этих же чисел».
2) Найди сумму. Сравни ее с каждым слагаемым. Сделай соответствующий вывод.
| Слагаемое | |||||||
| Слагаемое | |||||||
| Сумма | |||||||
На основе анализа рассмотренных частных случаев учащиеся приходят к выводу, что: «сумма всегда больше каждого из слагаемых». Но его можно опровергнуть, так как: 1+0=1, 2+0=2. В этих случаях сумма равна одному из слагаемых.
3) Проверь, будет ли делиться каждое слагаемое на число 2, и сделай вывод.
(2+4):2=3 (4+4):2=4 (6+2):2=4 (6+8):2=7 (8+10):2=9
Анализируя предложенные частные случаи, дети могут прийти к заключению, что: «если сумма чисел делится на 2, то каждое слагаемое этой суммы делится на 2». Но этот вывод ошибочный, так как его можно опровергнуть: (1+3):2. Здесь сумма делится на 2, каждое слагаемое не делится.
Подготовка к использованию данного приема эмпирического обобщения начинается с 1 класса, где используются упражнения с предметами вида:
А) выяви закономерность…
Б) продолжи ряд…
В) найди ошибку…
Г) заполни пропуски…
Например, М1А 1ч.
Подберите другие примеры подобных заданий.
Второй вид обобщения – это теоретическое обобщение. Если при организации эмпирического обобщения анализируют большое количество частных объектов и при этом ориентируются на их внешние существенные признаки, то при организации теоретического обобщения осуществляется анализ какого – то одного объекта с целью выявления его существенных внутренних связей. Эти связи фиксируются абстрактно, т.е. теоретически с помощью знаков и схем и становятся основой для выполнения частных конкретных действий.
Необходимым условием формирования у младших школьников способности к теоретическому обобщению является направленность обучения на формирование общих способов действий. Это одна из актуальных проблем начальной школы сегодня. Вариант решения этой проблемы представлен в курсе математики В.В. Давыдова.
Например, в этом курсе после введения понятия «измерение величин» детей учат измерять величины, используя различные мерки. Измерить, значит узнать, сколько мерок поместилось в величине. После того как мерки уложили, подсчитываем их количество. После серии уроков – закрепление: предлагаем ситуацию, когда величина большая, а мерка маленькая, следовательно, ей пользоваться неудобно, значит, мерку нужно укрупнить. Для этого соединяем несколько мелких мерок в одну более крупную и рассуждаем, что соединить можно по 2 мерки или по 3, 4…по 10, 11…и т.д. Это создает основу для введения двоичной, троичной и т.д.системы счисления, с которыми знакомят учащихся по данной программе, т.е. анализ одной ситуации – укрупнение мерки дает возможность делать некоторые обобщения.
Или, например, при введении смысла сложения и вычитания опираемся на сравнение величин и ставим проблему - как их можно уравнять? Для этого нужно к меньшей величине добавить некую часть, либо от большей величины убрать часть. В это время еще не введены числа и результаты, рассуждения записываются в общем виде с помощью букв, если А>Б, то А=Б+В или Б=А-В.
Наряду с эмпирическим и теоретическим обобщениями в курсе математики имеют место обобщения-соглашения. Примерами таких обобщений являются правила умножения на 1 и на 0, справедливые для любого числа. Их обычно сопровождают пояснениями: «в математике договорились...», «в математике принято считать...».