МУЗЫКАЛЬНЫЙ СИГНАЛ КАК ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА: АСПЕКТЫСАМООРГАНИЗАЦИИ
Филатов-Бекман С. А. доцент Российской государственной специализированной академии искусств, кандидат педагогических наук, преподаватель Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского
MUSICAL SYGNAL AS A DINAMICAL SISTEM: ASPECTS OF A SELF-ORGANISATION
Filatov-Beckmann S. A.
Associate Professor, Russian State Special Academia of Art,
Teacher, Moscow Tshaikowsky Conservatory
Аннотация
Обсуждаются результаты компьютерных экспериментов по сравнительному исследованию свойств белого и розового шумов в полосе высоких акустических частот. Приводятся графики сигналов, а также фазовые реконструкции. Ставится вопрос о нахождении параметров самоорганизации для описания тонкой структуры сигнала как динамической системы.
Abstract
The results of computer investigation for comparative analyze of white noise and pink noise for high acoustic frequency are discussed. Are presented diagrams of signals and their phase reconstruction. The parameters of self-organization for a fain structure of signals as a dynamical system are discussed.
Ключевые слова: сигнал, белый шум, «окрашенный» шум, фазовая реконструкция, параметры процесса самоорганизации.
Keywords: sнgnal, white noise, «colour» noise, phase reconstruction, parameters of a proceeding of a self-organization
Музыкальный сигнал допускает представление в виде динамической системы – конструкта, способного изменяться во времени и допускающего процесс управления. Большинство динамических систем (биологических, химических, физических) предполагают, как правило, в основном лишь компьютерный метод исследования и тем самым являются объектами современного компьютерного моделирования.
В работах [3, 5] мы рассматривали некоторые свойства шумовых эффектов в зависимости от акустической частоты. Нами были выбраны три опорных значения – 20, 330 и 4186 Гц, расположенные в центральной части полосы частот, охватывающей 0. 1 октавы (или 120 центов, где цент равен одной сотой полутона темперированного строя). Чем ниже опорная частота, тем у же данная полоса; для 20 Гц ее ширина составляет около 2 Гц, для двух других значений – 24 и 210 Гц соответственно. Поскольку свойства шумовых сигналов анализируются только в пределах данных полос, то каждая из них является т. н. полосовым фильтром, в области которого существует сигнал. Как сам сигнал, так и фильтры формируются на основе палитры процессов компьютерной программы – музыкального редактора Sound Forge [7].
В данной программе могут генерироваться дискретные шумовые эффекты – белый шум (БШ), а также «окрашенные» – розовый (РШ), коричневый и фильтрованный.
Аналоговый (т. е. непрерывный) сигнал БШ обладает независимостью спектральной плотности мощности от частоты: для любых промежутков времени, в том числе и для бесконечно малых, сигнал является некоррелированным, т. е. может принимать любые значения. Отсюда, согласно теореме Винера – Хинчина о связи корреляционных функций и спектральной плотности мощности, следует, что дисперсия БШ стремится к бесконечности [1]. «Окрашенные» шумы отличаются некоторой коррелированностью своих переменных.
Свойства музыкальных сигналов, и, в частности, шумовых эффектов могут успешно исследоваться на основе компьютерных экспериментов; подобный подход, развиваемый нами, получил наименование компьютерно-музыкального моделирования [2]. Подобные эксперименты осуществляются на основе авторской музыкально-статистической модели (к настоящему времени разработаны четыре версии). Данная модель способна обрабатывать одно- или многоголосный музыкальный сигнал и формировать информацию о нем на основе вычисления ряда переменных, как чисто статистических, так и принадлежащих области современной нелинейной динамики. К основным переменным относятся: графическое отображение сигнала как некоторого сложного осциллирующего процесса, фазовая реконструкция данного процесса, распределение пульсаций, интеграл корреляции, энтропия сигнала как динамической системы, мгновенная размерность, а также плотность вероятности распределения пульсаций.
Помимо этого, можно найти значения корреляционной (или фрактальной) размерности, т. н. первого показателя Ляпунова, а также величину меры информации сигнала (по Шеннону). Подробное описание музыкально-статистической модели содержится в [2].
Физический смысл перечисленных переменных рассматривался нами в [3, 5]; в [4, 6] и некоторых других работах был предпринят сравнительный анализ некоторых свойств белого и розового шумов.
Основная цель сравнительного анализа шумовых эффектов – поиск эффектов самоорганизации, которые могут формироваться в тех или иных частотных диапазонах. Наши исследования свидетельствуют о том, что фазовая реконструкция, исключающая явную зависимость сигнала от времени, несет наиболее значительное количество информации о свойствах сигнала: практически все основные переменные базируются на свойствах реконструкции.
Так, распределение пульсаций является отражением изменчивости расстояний между точками фазового «портрета», или метрики; интеграл корреляции показывает отношение количества значений метрики из некоторого диапазона к количеству всех возможных значений, или число возможных термодинамических состояний. Энтропия динамической системы есть логарифм количества термодинамических состояний; линейная аппроксимация графика энтропии позволяет оценить угловой коэффициент, или тангенс угла наклона прямой к горизонтальной оси; угловой коэффициент рассматривается как корреляционная (или фрактальная) размерность фазовой реконструкции. Мгновенное значение размерности может быть представлено как производная энтропии по логарифму метрики.
Процесс самоорганизации в рамках той или иной динамической системы (например, музыкального или шумового сигнала) описывается, как правило, рядом параметров, характер изменения которых позволяет судить об особенностях эволюции интересующего нас явления. Результаты экспериментов указывают на то, что в нашем случае именно метрика может рассматриваться в качестве одного из возможных параметров самоорганизации.
Так, фазовая реконструкция БШ в области частот 20 Гц практически не обладает какими-либо особенностями внутренней структуры. Наоборот, розовый шум порождает реконструкцию, расстояния между точками которой возрастают от центра к периферии [4]. Результаты для опорной частоты 330 Гц проанализированы в [5].
В предлагаемой работе мы обсуждаем некоторые сравнительные характеристики сигналов БШ и РШ для верхнего частотного диапазона (опорная частота составляет 4186 Гц, полоса пропускания расположена в диапазоне 4081–4291 Гц). Данный диапазон практически почти недостижим для большинства музыкальных инструментов; однако особенности шумовых эффектов могут представлять определенный интерес.
На рис. 1 представлены сигналы БШ и РШ; внешне они почти неотличимы друг от друга (амплитуда РШ несколько больше):
Рис. 1. Сигналы белого и розового шумов в высокочастотном диапазоне
Следует отметить, что около частоты 20 Гц сигналы БШ и РШ имеют достаточные различия:
Рис. 2. Сигналы белого и розового шумов в низкочастотном диапазоне
Графики сигналов для промежуточной частоты 330 Гц проанализированы в [5].
Перейдем к анализу фазовых реконструкций:
Рис. 3. Фазовые реконструкции для БШ и РШ
Множества точек, представленные на данном рисунке, достаточно заметно отличаются друг от друга. Фазовая реконструкция белого шума имеет форму круга, плотность точек максимальна в центре круга и изотропно понижается к периферии (нет выделенных направлений, где точки вели бы себя иначе). Это означает, что метрика равномерно возрастает (от центра к периферии).
Фазовая реконструкция розового шума имеет значительно более «сплюснутый» вид; это свидетельствует о преимущественном возрастании метрики в направлениях, параллельных горизонтальной оси или близких к параллельным.
Сравнивая фазовые реконструкции сигналов БШ и РШ, построенные для узких полос частот в низком, среднем и высокочастотном диапазонах, можно сделать следующие предварительные выводы. Фазовая реконструкция для БШ структурируется с увеличением опорной частоты: если для низких частот «портрет» практически изотропен, то для среднего и в особенности высокочастотного диапазона отчетливо просматривается тенденция монотонного возрастания метрики (т. е. расстояний между точками фазового портрета) от центральных частей к периферии. Иначе говоря, для БШ фазовая реконструкция является функцией частоты.
Фазовый «портрет» розового шума несет на себе м е ньшие различия в зависимости от частотного диапазона: для всех выбранных значений опорной частоты метрика, как правило, возрастает от центра к периферии. Таким образом, для РШ зависимость фазовой реконструкции от частоты оказывается значительно более слабой.
Причины сформулированных особенностей лежат в различной степени коррелированности и, следовательно, различной возможности изменчивости сигналов. Применение фазовой реконструкции позволяет осуществить визуальную оценку степени коррелированности сигнала.
Литература
1. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2007. – 751 с.: ил.
2. Филатов-Бекман С. А. Компьютерно-музыкальное моделирование: Учебное пособие для высшей школы. – М.: ООО «Сам полиграфист», 2015. – 160 с.: ил., нот.
3. Филатов-Бекман С. А. К вопросу о компьютерном исследовании спектральных характеристик «белого шума» // Збiрник центру наукових публiкацiй «Велес» за матерiалами мiжнародноi науковопрактичноi конференцii: «IV осiннi читання», м. Киiв: збiрник статей (рiвень стандарту, академiчний рiвень). – К.: Центр наукових публiкацiй, 2015. – С. 19-23
4. Филатов-Бекман С. А. О некоторых спектральных характеристиках различных видов шумов. // Сборник статей научно-информационного центра «Знание» по материалам IX международной заочной научно-практической конференции: «Развитие науки в XXI веке» г. Харьков: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). – Д.: научно-информационный центр «Знание», 2015. – С. 47-51.
5. Филатов-Бекман С. А. К вопросу о компьютерном исследовании спектральных характеристик «белого шума» (раздел 2) // Збiрник центру наукових публiкацiй «Велес» за матерiалами мiжнародноi науково-практичноi конференцii: «Наука в епоху дiсбалансiв», м. Киiв: збiрник статей (рiвень стандарту, академiчний рiвень). – К.: Центр наукових публiкацiй, 2016. – С. 110-114
6. Филатов-Бекман С. А. О некоторых спектральных характеристиках различных видов шумов (раздел 2) (в печати)
Цоллер С. А. Создание музыка на ПК: от простого к сложному. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 320 с.: ил.